フーリエ級数の準備 - 機械学習基礎理論独習

周期関数

周期関数の定義

すべての実数 $x(-\infty < x < \infty)$ に対して、

$\begin{eqnarray} f(x+2L)=f(x) \end{eqnarray}$

となる定数 $L$ が存在するとき、 $f(x)$ は周期 $2L$ の周期関数という。

例として、 $\sin x$ は周期 $2\pi$ で、 $\sin 2x$ は周期 $\pi$ です。

三角関数の積分公式

積分区間 $[-\pi,\pi]$ における三角関数の公式です。
(ちなみに、三角関数の加法定理を忘れた人はこちらをご覧ください。)

三角関数の積分公式

(1) $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\cos mx dx=0,\ \displaystyle\int_{-\pi}^\pi\sin mx dx=0$
(2) $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\sin mx \cos nx dx=0$
(3) $\begin{eqnarray} \displaystyle\int_{-\pi}^\pi\cos mx \cos nx dx= \left\{ \begin{array}{l} \pi\ (m=n のとき)\\ 0\ (m\not=n のとき) \end{array} \right. \end{eqnarray}$
(4) $\begin{eqnarray} \displaystyle\int_{-\pi}^\pi\sin mx \sin nx dx= \left\{ \begin{array}{l} \pi\ (m=n のとき)\\ 0\ (m\not=n のとき) \end{array} \right. \end{eqnarray}$

以下、導出です。

$(1)$ の導出

$\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi \cos mx\ dx&=&\frac{1}{m}\left[\sin mx\right]_{-\pi}^\pi\\ &=&\frac{1}{m}\left(\sin m\pi-\sin(-m\pi)\right)=\frac{1}{m}(0-0)=0\\ \\ \int_{-\pi}^\pi \sin mx\ dx&=&-\frac{1}{m}\left[\cos mx\right]_{-\pi}^\pi\\ &=&-\frac{1}{m}\left(\cos m\pi-\cos(-m\pi)\right)=\frac{1}{m}\left(\cos m\pi-\cos m\pi\right)=0 \end{eqnarray}$

$(2)$ の導出
$\sin mx$ は奇関数であり、 $\cos nx$ は偶関数なので、 $\sin mx\cdot\cos nx$ は奇関数です。
よって、

$\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi \sin mx\cdot\cos nx\ dx=0 \end{eqnarray}$

です。

$(3)$ の導出
$(i)\ m=n$ のとき

$\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi\cos mx\cdot\cos mx\ dx&=&\int_{-\pi}^\pi\cos^2 mx\ dx\\ &=&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi(1+\cos 2mx)\ dx\\ &=&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi 1\ dx\\ &=&\frac{1}{2}[x]_{-\pi}^\pi=\frac{1}{2}(\pi-(-\pi))=\pi \end{eqnarray}$

$(ii)\ m\not=n$ のとき

$\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi\cos mx\cdot\cos nx\ dx&=&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi\left(\cos(mx+nx)+\cos(mx-nx)\right)\ dx\\ &=&\frac{1}{2}(0+0)=0 \end{eqnarray}$

$(4)$ の導出
$(i)\ m=n$ のとき

$\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi\sin mx\cdot\sin mx\ dx&=&\int_{-\pi}^\pi\sin^2 mx\ dx\\ &=&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi(1-\cos 2mx)\ dx\\ &=&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi 1\ dx\\ &=&\frac{1}{2}[x]_{-\pi}^\pi=\frac{1}{2}(\pi-(-\pi))=\pi \end{eqnarray}$

$(ii)\ m\not=n$ のとき

$\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi\sin mx\cdot\sin nx\ dx&=&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi\left(\cos(mx+nx)-\cos(mx-nx)\right)\ dx\\ &=&\frac{1}{2}(0-0)=0 \end{eqnarray}$

奇関数・偶関数と定積分

(Ⅰ) $y=f(x)$ が偶関数
　　・定義 $f(-x)=f(x)$
　　・ $y$ 軸に対して対象なグラフとなる
　　・ $\displaystyle\int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^af(x)dx$
(Ⅱ) $y=f(x)$ が奇関数
　　・定義 $f(-x)=-f(x)$
　　・原点に対して対象なグラフとなる
　　・ $\displaystyle\int_{-a}^a f(x)dx=0$

例として、 $\cos kx$ は偶関数、 $\sin kx$ は奇関数です。

関数の内積とノルム

関数の内積とノルムの定義

区間 $[-\pi,\pi]$ で定義された区分的に連続な $2$ つの関数 $F(x),g(x)$ について、
(1) $f$ と $g$ の内積 $(f,g)$ を次のように定義する。

$\begin{eqnarray} (f,g)=\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)dx \end{eqnarray}$

(2) $f$ のノルム(または大きさ) $||f||$ を次のように定義する。

$\begin{eqnarray} || f ||=\sqrt{(f,f)}=\sqrt{\displaystyle\int_{-\pi}^\pi f(x)^2dx} \end{eqnarray}$

$1,\cos x,\sin x,\ldots,\sin kx, \cos kx,\ldots$ は区間 $[-\pi,\pi]$ で互いに直交する"直交関数系"になっていることが分かります。

"区分的連続"と"区分的滑らか"

"区分的連続"と"区分的滑らか"の定義

(Ⅰ) 区分的に連続な関数 $f(x)$
　　区間 $[a, b]$ で定義された関数 $f(x)$ が、有限個の点を除いて連続で、
　　かつ、いずれの不連続点 $x_0,x_1,\ldots$ においても
　　左側極限値 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_i-0}f(x)$ と右側極限値 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_i+0}f(x)$ が存在し、 $(i=0,1,\ldots)$
　　さらに両端点においても右側極限値 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)$ と左側極限値 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)$ が存在するとき、
　　 $f(x)$ を区間 $[a,b]$ で "区分的に連続な関数" という。
(Ⅱ) 区分的に滑らかな関数 $f(x)$
　　区間 $[a,b]$ で定義された関数 $f(x)$ と、その $1$ 階導関数 $f'(x)$ が共に区分的に連続であるとき、
　　 $f(x)$ を区間 $[a,b]$ で"区分的に滑らかな関数"という。

参考文献

フーリエ解析キャンパス・ゼミ p15-p23