定義 9.14 距離空間 から距離空間 への写像 が全単射であって、 とその逆写像 が共に連続であるとき、 を位相同型写像または同型写像とよぶ。定義 9.15 距離空間 から距離空間 への位相同型写像が存在するとき、 と は位相同型であるといい、 で表す。定理 9…

注意 本記事は距離空間の記事であることを意識してください。定義 9.1 距離空間 の点 と正数 に対して、集合を の -近傍という。特に、距離空間 または における -近傍であることを強調するときには、 または と書く。任意の点 に対し、 です。補題 9.2 任意…

実数列 とは、各自然数 にそれぞれ実数 を体操させたものであから、写像 のことであると考えられます。定義 8.16 任意の集合 に対し、写像 を の点列といい、各 に対し、 を点列 の第 項という。ただし、本書では、点列の第 項を などで表し、このとき点列を…

定義 8.13 つの距離空間 に対して、包含関係 が成り立ち、さらに、条件が満たされるとき、 は の部分距離空間または単に部分空間であるという。逆に、距離空間 が与えられたとき、任意の部分集合 に対して、距離関数 の への制限は 上の距離関数である。この…

定義 8.6 集合 と関数 が与えられ、任意の に対して、次の つのことが成り立つとする。 さらに、 (三角不等式) このとき、 を 上の距離関数という。ユークリッドの距離関数 は 上の距離関数です。(定理 8.5)定義 8.7 距離関数 が つ定められた集合 を距離空…

定義 8.1 の任意の 点 に対して、を、 間のユークリッドの距離という。ここで、記号 は の 点の組 に実数 を対応させる関数であると考えられる。ここで記号 をユークリッド距離関数という。定義 8.3 任意の 点間にユークリッドの距離が定められた集合 を 次…

はじめに 「集合・位相入門」という本を読んでいるのですが、p153に 「 が つの元から成る集合 である場合には、 における位相をを全部書き上げることは もはやそれほど容易ではない。しかし、注意深く検討すれば、この集合における位相は全部で 個あること…