ユークリッド空間 - 機械学習基礎理論独習

定義 8.1

${\mathbb R}^n$ の任意の $2$ 点 $p=(x_1,x_2,\cdots,x_n),\ q=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ に対して、

$\begin{eqnarray} d(p,q)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2} \end{eqnarray}$

を、 $p,q$ 間のユークリッドの距離という。ここで、記号 $d$ は ${\mathbb R}^n$ の $2$ 点の組 $(p,q)$ に実数 $d(p,q)$ を対応させる関数

$\begin{eqnarray} d:{\mathbb R}^n\times{\mathbb R}^n\longrightarrow{\mathbb R}^n;(p,q)\longmapsto d(p,q) \end{eqnarray}$

であると考えられる。ここで記号 $d$ をユークリッド距離関数という。

定義 8.3

任意の $2$ 点間にユークリッドの距離が定められた集合 ${\mathbb R}^n$ を $n$ 次元ユークリッド空間といい、 ${\mathbb E}^n$ または $({\mathbb R}^n,d)$ で表す。

定理 8.5 距離の基本3性質

任意の $3$ 点 $p,q,r\in{\mathbb E}^n$ に対して、次の $3$ つのことが成立する。
$(M1)$ $d(p,q)\geq 0.$ さらに、 $d(p,q)=0\Leftrightarrow p=q.$
$(M2)$ $d(p,q)=d(q,p)$
$(M3)$ $d(p,r)\leq d(p,q)+d(q,r)$ (三角不等式)

$(M3)$ の証明をします。
いま、 $p=(x_1,\cdots,x_n),q=(y_1,\cdots,y_n),r=(z_1,\cdots,z_n)$ として、各 $i=1,\cdots,n$ に対し、 $a_i=x_i-y_i,b_i=y_i-z_i$ とおくと、
$a_i+b_i=x_i-z_i.$ このとき、三角不等式 $(M3)$ は

$\begin{eqnarray} \sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^2}\leq\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^2}+\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i^2} \end{eqnarray}$

と表されます。この両辺を平方して整理すると、

$\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^na_ib_i\leq\sqrt{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i^2\right)}\tag{8.2} \end{eqnarray}$

が得られるから、式 $(8.2)$ を証明すればよいことになります。 $\square$
※式 $(8.2)$ はSchwarzの不等式より成り立ちます。Schwarzの不等式の証明は他の記事に回します。

以後、 ${\mathbb R}^n$ 上の他の距離関数と区別するために、ユークリッドの距離関数 $d$ を $d_2$ で表します。

参考文献

はじめての集合と位相 p101-p104