機械学習基礎理論独習

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点列の収束

位相空間

実数列 ${a_n}$ とは、各自然数 $n$ にそれぞれ実数 $a_n$ を体操させたものであから、写像 $a:{\mathbb N}\rightarrow{\mathbb R};n\mapsto X$ のことであると考えられます。

定義 8.16

任意の集合 $X$ に対し、写像 $s:{\mathbb N}\longrightarrow X$ を $X$ の点列といい、各 $n\in{\mathbb N}$ に対し、 $s(n)$ を点列 $s$ の第 $n$ 項という。ただし、本書では、点列の第 $n$ 項を $x_n$ などで表し、このとき点列を $\{x_n\}$ で表す。

定義 8.17

距離空間 $(X,d)$ の点列 $\{x_n\}$ が点 $x\in X$ に収束するとは、任意の正数 $\epsilon$ に対して、ある自然数 $n_\epsilon$ が存在して

$\begin{eqnarray} (\forall n\in{\mathbb N})(n > n_\epsilon\ ならば\ d(x,x_n) < \epsilon) \end{eqnarray}$

が成り立つことをいう。このとき、 $x$ を $x_n$ の極限点という。点列 $\{x_n\}$ が $x$ に収束するとき

$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x\ または\ x_n\rightarrow x \end{eqnarray}$

で表す。

図1: 定義8.17のイメージ
f:id:olj611:20220226051224p:plain:w350

約束
本書では、特に断らない限り、次数列は ${\mathbb E}^1$ の点列であると考えます。

定義 8.19

実数列 $\{x_n\}$ が実数 $x$ に収束するとは、任意の正数 $\epsilon$ に対して、ある自然数が存在して、

$\begin{eqnarray} (\forall n\in{\mathbb N})(n > n_\epsilon\ ならば\ | x - x_n | < \epsilon) \end{eqnarray}$

が成り立つことをいう。

定義 8.19 は定義 8.17 の実数列バージョンです。(定義8.19はあえて書かなくてもよいかもしれない。)

補題 8.20

距離空間 $X,d)$ の点列 $\{x_n\}$ が点 $x\in X$ に収束するためには、実数列 $\{d(x,x_n)\}$ が $0$ に収束することが必要十分である。

命題 8.21

直積距離空間 $(X,\rho)=\displaystyle\prod_{i=1}^n(X_i,\rho_i)$ の点列 $\{p_k\}$ と点 $p$ に対して、

$\begin{eqnarray} &&p_k=(x_k(1),x_k(2),\cdots,x_k(n)),\ \ k\in{\mathbb N},\\ &&p=(x(1),x(2),\cdots,x(n)) \end{eqnarray}$

とおく。このとき、 $p_k\rightarrow p\ (k\rightarrow\infty)$ であるためには、各 $i=1,2,\cdots,n$ に対して、 $x_k(i)\rightarrow x(i)\ (k\rightarrow\infty)$ が成り立つことが必要十分条件である。

$x_k(n)$ という表現が分かりにくい場合は、 $x_{kn}$ と考えると分かりやすいかもしれません。
命題 8.21 は、直積距離空間の点列が収束するためには、各座標ごと収束することが必要十分であることを示しています。

参考文献

はじめての集合と位相 p108-p111

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