集合の演算 - 機械学習基礎理論独習

定義 1.14

$2$ つの集合 $A,B$ に対して、次のように定める。

$\begin{eqnarray} &&A\cup B=\{x:x\in A\ または\ x\in B\}\\ &&A\cap B=\{x:x\in A\ かつ\ x\in B\}\\ \end{eqnarray}$

集合 $A\cup B$ を $A$ と $B$ の和集合、 $A\cap B$ を $A$ と $B$ の共通部分という。

註 1.15

定義より、次の $(1),(2)$ が成立する。
$(1)$ $A\subseteq A\cup B,\ B\subseteq A\cup B,$
$(2)$ $A\cap B\subseteq A,\ A\cap B\subseteq B.$

命題 1.16 集合演算の基本性質1

$(1)$ $A\cup A=A,\ A\cap A=A,$ (べき等法則)
$(2)$ $A\cup B=B\cup A,\ A\cap B=B\cap A,$ (交換法則)
$(3)$ $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C),$ (結合法則)
$(4)$ $(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C),$ (結合法則)
$(5)$ $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C),$ (分配法則)
$(6)$ $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C).$ (分配法則)

定義 $1.16$ の $(1),(2),(3),(4)$ については直感的に理解できると思うので、 $(5)$ に関して、証明しておきます。( $(5)$ の証明が分かれば $(6)$ はわかると思うので省略します。)
定義 $1.16$ の $(5)$ の証明
任意の $x$ について、

$\begin{eqnarray} x\in A\cup(B\cap C)&\Leftrightarrow&x\in A\lor(x\in B\land x\in C)\\ &\Leftrightarrow&(x\in A\land x\in B)\lor(x\in A\land x\in B)\\ &\Leftrightarrow&x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)\\ \end{eqnarray}$