機械学習基礎理論独習

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補集合とド・モルガンの公式

集合論

定義 1.18

全体集合 $U$ が与えられたとする。このとき、任意の集合 $A\subseteq U$ に対して、差集合 $U-A$ を( $U$ における) $A$ の補集合とよび、

$\begin{eqnarray} A^c\ または\ \sim A\ または\ \overline{A} \end{eqnarray}$

で表す。本書では、最初の記号を採用する。任意の $x\in U$ に対して、

$\begin{eqnarray} x\in A^c\Leftrightarrow x\not\in A \end{eqnarray}$

が成立する。

命題 1.19 集合演算の基本性質2

任意の $A\subseteq U$ に対して、次が成り立つ。
$(1)$ $(A^c)^c=A,$
$(2)$ $A\cup A^c=U,$
$(3)$ $A\cap A^c=\varnothing$
$(4)$ $U^c=\varnothing,\ \varnothing^c=U,$
$(5)$ $A\cup U=U,\ A\cup\varnothing=A,$
$(6)$ $A\cap U=A,\ A\cap\varnothing=\varnothing.$

命題 1.20 ド・モルガンの公式

任意の $A,B\subseteq U$ に対して、次が成り立つ。
$(1)$ $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c,$
$(2)$ $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c.$

補題 1.21

任意の $A,B\subseteq U$ に対して、 $A-B=A\cap B^c$ が成り立つ。

参考文献

はじめての集合と位相 p8-p10

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