ギブスの現象 - 機械学習基礎理論独習

ギブスのツノは約9%

一般に不連続部におけるギブスの現象(ツノ)の大きさは、本来の左右両極限値の約 $9$ %であることが知られています。
これについて、具体例を通して求めていきましょう。

具体例

周期 $2\pi$ の周期関数

$\begin{eqnarray} f(x)= \left\{ \begin{array}{l} -\dfrac{\pi}{4}\ (-\pi < x < 0)\\ \dfrac{\pi}{4}\ (0 < x < \pi) \end{array}\tag{1} \right. \end{eqnarray}$

をフーリエ級数に展開すると、

$\begin{eqnarray} f(x)=\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5}+\cdots\tag{2} \end{eqnarray}$

となります。
図1
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ここで、初項から $N$ 項までの部分和でできた関数を $f_N(x)$ とおくと、

$\begin{eqnarray} f_N(x)=\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots + \frac{\sin (2N-1)x}{2N-1}\tag{3} \end{eqnarray}$

となります。
$f_N(x)$ は奇関数なので、 $x=0$ 付近の極大値を求めてみることにしましょう。
式 $(3)$ を $x$ で微分します。

$\begin{eqnarray} f_N'(x)=\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cdots + \cos(2N-1)x\tag{4} \end{eqnarray}$

式 $(4)$ の両辺に $2\sin x$ を掛けます。

$\begin{eqnarray} 2\sin x\cdot f_N'(x)&=&2\sin x\cdot (\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cdots + \cos(2N-1)x)\\ &=&2\sin x \cos x + 2\sin x \cos 3x + 2\sin x \cos 5x + \cdots + 2\sin x \cos(2N-1)x\\ &=&\sin2x + \sin 4x + \sin(-2x) + \sin 6x + \sin(-4x) + \cdots + \sin 2Nx + \sin(-2N+2)x\\ &=&\sin2x + \sin 4x - \sin 2x + \sin 6x - \sin 4x + \cdots + \sin 2Nx - \sin(2N-2)x\\ &=&\sin 2Nx\tag{5} \end{eqnarray}$

$x=m\pi$ で $f_N(x)$ は極値を取らないので、 $\sin x\not=0$ とすると、式 $(5)$ より、

$\begin{eqnarray} f_N'(x)=\frac{\sin 2Nx}{2\sin x}\tag{6} \end{eqnarray}$

です。
ここで、 $f_N'(x)=0$ のとき、 $\sin2Nx=0$ より、

$\begin{eqnarray} &&2Nx=n\pi\\ &&\Rightarrow x=\frac{n\pi}{2N}\tag{7} \end{eqnarray}$

となります。
図1に示すように、不連続点 $x=0$ の正側の付近で $f_N'(x)$ が極大となる $x$ の値は式 $(7)$ に $n=1$ を代入したものです。
よって、 $f_N'(x)$ は $x=\dfrac{\pi}{2N}$ で次の極大値を取ります。

$\begin{eqnarray} f_N\left(\dfrac{\pi}{2N}\right)=\sin\dfrac{\pi}{2N}+\dfrac{\sin\dfrac{3\pi}{2N}}{3}+\dfrac{\sin\dfrac{5\pi}{2N}}{5}+\cdots+\dfrac{\sin\dfrac{(2N-1)\pi}{2N}}{2N-1}\tag{8} \end{eqnarray}$

式 $(8)$ を区分求積法を意識して、変形します。

$\begin{eqnarray} f_N\left(\dfrac{\pi}{2N}\right)=\frac{1}{2}\cdot\underline{\frac{\pi}{N}\left(\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{2N}}{\dfrac{\pi}{2N}}+\dfrac{\sin\dfrac{3\pi}{2N}}{\dfrac{3\pi}{2N}}+\dfrac{\sin\dfrac{5\pi}{2N}}{\dfrac{5\pi}{2N}}+\cdots+\dfrac{\sin\dfrac{(2N-1)\pi}{2N}}{\dfrac{(2N-1)\pi}{2N}}\right)}\tag{9} \end{eqnarray}$

式 $(9)$ の下線部は、 $y=g(x)=\dfrac{\sin x}{x}\ (0 < x \leq \pi)$ と $x$ 軸と $y$ 軸で囲まれた図形を $N$ 等分した長方形の和になっています。
よって、 $N \rightarrow\infty$ とすると、

$\begin{eqnarray} \lim_{N\rightarrow\infty} f_N\left(\dfrac{\pi}{2N}\right)&=&\frac{1}{2}\int_0^\pi\frac{\sin x}{x}dx\\ &=&\frac{1}{2}\int_0^\pi\frac{1}{x}\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\right)dx\\ &=&\frac{1}{2}\int_0^\pi\left(1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots\right)dx\\ &&\frac{1}{2}\left[x-\frac{x^3}{3\cdot 3!}+\frac{x^5}{5\cdot 5!}-\frac{x^7}{7\cdot 7!}+\cdots\right]_0^\pi\\ &&\frac{1}{2}\left(\pi-\frac{\pi^3}{3\cdot 3!}+\frac{\pi^5}{5\cdot 5!}-\frac{\pi^7}{7\cdot 7!}+\cdots\right)\\ &&\approx \frac{1}{2}\cdot 1.852\\ &&0.926\tag{10} \end{eqnarray}$

となります。
よって、ギブスのツノの大きさは、 $0.926-\dfrac{\pi}{4}=0.1406$ で、
これは本来の左右両極限の差に対して、 $\dfrac{0.1406}{\dfrac{\pi}{2}}=0.09$ 、すなわち約 $9$ %に相当します。

参考文献

フーリエ解析キャンパス・ゼミ p90-p93