位相空間①～距離から位相へ～ - 機械学習基礎理論独習

概要

位相、位相空間、開集合、閉集合の定義、定理1の証明

位相、位相空間、開集合、閉集合の定義

・ $X$ を集合、 $\mathscr O\subset 2^X$ に対し、次の (i)-(iii) が成り立つとき、 $\mathscr O$ は $X$ の "位相" であるという。
(i) $\varnothing,X\in{\mathscr O}$
(ii) $n\in{\mathbb N}$ に対し、 $\big\{A_i\big\}_{i=1}^n\subset{\mathscr O}$ ならば $\displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i\in{\mathscr O}$ .
(iii) 集合 $\Lambda(\not=\varnothing)$ で添え字づけられた $X$ の部分集合族 $\big\{A_\lambda\big\}_{\lambda\in\Lambda}$ に対し、
$\big\{A_\lambda\big\}_{\lambda\in\Lambda}\subset{\mathscr O}$ ならば $\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\in{\mathscr O}$ .
このとき、 $(X,{\mathscr O})$ を"位相空間" といい、 $A\in{\mathscr O}$ のとき、 $A$ は $(X,{\mathscr O})$ の"開集合"という。

注意 $(X,d)$ を距離空間、 ${\mathscr O}:=\{A\subset X\ |\ Aは(X,d)の開集合\}$ とおくと、
距離空間⑤定理3より、 $(X,{\mathscr O})$ は位相空間となる。

・ $X$ を集合とするとき、 ${\mathscr O}:=\{\varnothing,X\}$ とおくと、 ${\mathscr O}$ は $X$ の位相となり、これを $X$ の "密着位相" という。

・ $X$ を集合とするとき、 ${\mathscr O}:=2^X$ は $X$ の位相となり、これを $X$ の "離散位相" という。

・ $X$ を集合、 ${\mathscr O}_1,{\mathscr O}_2$ をともに $X$ の位相とする。
${\mathscr O}_1\subset{\mathscr O}_2$ のとき、 ${\mathscr O}_1$ は ${\mathscr O}_2$ より小さい、 ${\mathscr O}_2$ は ${\mathscr O}_1$ より大きいという。
$\{\varnothing,X\}$ は $X$ の位相の中で最も小さく、 $2^X$ は $X$ の位相の中で最も大きい位相。

・ $(X,{\mathscr O})$ を位相空間、 $A\subset X$ とする。
このとき、 $A^c\in{\mathscr O}$ のとき、 $A$ を $(X,{\mathscr O})$ の "閉集合" という。

定理1

$(X,{\mathscr O})$ を位相空間とし、 ${\mathscr C}:=\{A\subset X\ |\ A\ は\ (X,{\mathscr O})\ の閉集合\}$ とおく。
このとき、 ${\mathscr C}$ は次の (i)-(iii) を満たす。
(i) $\varnothing,X\in{\mathscr C}$
(ii) $n\in{\mathbb N}$ に対し、 $\big\{A_i\big\}_{i=1}^n\subset{\mathscr C}$ ならば $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i\in{\mathscr C}$ .
(iii) 集合 $\Lambda(\not=\varnothing)$ で添え字づけられた $X$ の部分集合族 $\big\{A_\lambda\big\}_{\lambda\in\Lambda}$ に対し、
$\big\{A_\lambda\big\}_{\lambda\in\Lambda}\subset{\mathscr C}$ ならば $\displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\in{\mathscr C}$ .
証明
(i) $\varnothing^c=X\in{\mathscr O}$ より、 $\varnothing\in{\mathscr C}$ .
また、 $X^c=\varnothing\in{\mathscr O}$ より、 $X\in{\mathscr C}$ . □
(ii) $n\in{\mathbb N},\ \big\{A_i\big\}_{i=1}^n\subset{\mathscr C}$ とすると、 $\big\{{A_i}^c\big\}_{i=1}^n\subset{\mathscr O}$ だから、 $\displaystyle\bigcap_{i=1}^n{A_i}^c\in{\mathscr O}.$ ( $\because$ 位相の定義(ii))
ところで、ド・モルガンの法則より $\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i\right)^c=\displaystyle\bigcap_{i=1}^n{A_i}^c\in{\mathscr O}$ となるから、 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i\in{\mathscr C}.$ ( $\because$ 閉集合の定義より、 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i$ は閉集合) □
(iii) $\displaystyle\big\{A_\lambda\big\}_{\lambda\in\Lambda}\subset{\mathscr C}$ とすると、 $\displaystyle\big\{{A_\lambda}^c\big\}_{\lambda\in\Lambda}\subset{\mathscr O}$ だから、 $\big\{{A_\lambda}^c\big\}_{\lambda\in\Lambda}\in{\mathscr O}.$
ところで、ド・モルガンの法則より $\left(\displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^c=\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}{A_\lambda}^c\in{\mathscr O}$ となるから、 $\displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\in{\mathscr C}$ . □