ルベーグ積分③～可測集合の性質～ - 機械学習基礎理論独習

概要

補題3の証明

補題3

$\mu$ は $X$ 上の測度
(i) $\varnothing$ と $X$ は可測
(ii) $A\subset X,\ \mu(A)=0$ (零集合) $\Rightarrow A$ は可測
(iii) $A\subset X,\ A$ が可測 $\Rightarrow A^c$ も可測

証明
(i) $E\subset X$ とする。
$\mu(\underbrace{E\cap\varnothing}_{=\varnothing})+\mu(\underbrace{E-\varnothing}_{=E})=\underbrace{\mu(\varnothing)}_{=0}+\mu(E)=\mu(E).$ よって、 $\varnothing$ は可測。
次に、 $\mu(\underbrace{E\cap X}_{=E})+\mu(\underbrace{E-X}_{=\varnothing})=\mu(E)+\underbrace{\mu(\varnothing)}_{=0}=\mu(E).$ よって、 $X$ は可測。
(ii) $\mu(A)=0,\ E\subset X$ とする。
$\mu(E\cap A)+\mu(E-A)\leq\mu(A)+\mu(E)=\mu(E).\ \ \ \ (\because E\cap A\subset A,\ E-A=E\cap A^c\subset E).$ よって、補題2より $A$ は可測。
(iii) $A$ は可測とする。このとき、 $A$ が可測であるから、
$\forall E\subset X$ に対し、 $\mu(E)=\mu(E\cap A)+\mu(E-A)$ が成り立つ。
ここで、 $E\cap A^c=E-A,\ E-A^c=E\cap(A^c)^c=E\cap A$ であるから、
$\mu(E)=\mu(E-A^c)+\mu(E\cap A^c)=\mu(E\cap A^c)+\mu(E-A^c)$ が成り立つ。
これは、 $A^c$ が可測であることを意味する。( $\because$ 可測の定義)□