ルベーグ積分⑦～可測集合の性質～ - 機械学習基礎理論独習

概要

定理3の証明

定理3

可測集合列 $\big\{A_n\big\}_{n=1}^\infty$ は単調減少とし、 $\mu(A_1) < \infty$ とする。 $(\cdots\subset A_3 \subset A_2 \subset A_1)$
このとき、 $\mu\left(\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)$ が成り立つ。

証明
まず、 $\big\{A_n\big\}_{n=1}^\infty$ は単調減少だから $\forall n\in{\mathbb N}$ に対し、 $0\underset{\muの定義}{\leq} \mu(A_{n+1})\underset{測度の単調性}{\leq}\mu(A_n)\underset{測度の単調性}{\leq}\mu(A_1) \underset{仮定}{<} \infty.$
$\big\{\mu(A_n)\big\}_{n=1}^\infty$ は下に有界な単調減少数列 $\Rightarrow 0\leq\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n) < \infty$ が存在。

$A_n$ と $A_1-A_n$ は互いに素な可測集合 $\Rightarrow\mu(A_1)\underset{上図参照}{=}\mu(A_n\cup(A_1-A_n))\underset{補題5}{=}\mu(A_n)+\mu(A_1-A_n)\ \cdots\ (1)$
ここで、 $\mu(A_1) < \infty$ だから、 $(1)$ より $\mu(A_n) < \infty$ かつ $\mu(A_1-A_n) < \infty.$
よって、 $(1)$ より(移項ができて) $\mu(A_1-A_n)=\mu(A_1)-\mu(A_n).\ \cdots (2)$
さて、各 $n$ に対し、 $B_n:=A_n-A_{n+1}$ とおく。
このとき、 $B_1=A_1-A_2,B_1\cup B_2=A_1-A_3,\cdots,\displaystyle\bigcup_{j=1}^{n-1}B_j=A_1-A_n\ (n\geq 2).$

また、 $\big\{B_j\big\}_{j=1}^{n-1}\ (n\geq 2)$ は互いに素な有限個の可測集合列だから、補題 $5$ の系と $(2)$ より、
$\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\mu(B_j)\underset{補題5の系}{=}\mu\left(\displaystyle\bigcup_{j=1}^{n-1}B_j\right)=\mu(A_1-A_n)\underset{(2)}{=}\mu(A_1)-\mu(A_n)\ \cdots\ (3)$
ここで、 $A_1=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n\cup\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty B_n$ に注意し、 $\big\{B_j\big\}_{j=1}^{n-1}\ (n\geq 2)$ は互いに素な可測集合列だから、定理 $1$ を用いて

$\begin{eqnarray} \mu(A_1)&=&\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\cup\bigcap_{n=1}^\infty B_n\right)\\ &\underset{劣加法性}{\leq}&\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)+\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty B_n\right)\\ &\underset{定理1}{=}&\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)+\sum_{n=1}^\infty\mu(B_n)\\ &=&\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)+\lim \sum_{n=1}^\infty\mu(B_n)\\ &\underset{(3)}{=}&\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)+\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\mu(A_1)-\mu(A_n)\right)\\ &=&\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)+\mu(A_1)-\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)\\ \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)\leq \mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)\ \ \ \ (\mu(A_1)<\inftyを用いた!!) \end{eqnarray}$

一方、測度の単調性より、

$\begin{eqnarray} \mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)\leq\mu(A_j)\ (\forall j\in{\mathbb N}) \end{eqnarray}$

上式で $j\rightarrow\infty$ とすると、

$\begin{eqnarray} \mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)\leq\lim_{j\rightarrow\infty}\mu(A_j)\ (\forall j\in{\mathbb N}) \end{eqnarray}$

となり、逆向きの不等式も得られる。□