概要 定理4の証明 定理4 を可測集合列とすると、 はともに可測である。証明 が可測集合であることを示せば十分。 実際、これが正しいとすると、 が可測集合列 が可測集合列 が可測集合 が可測集合 よって、以下、 が可測集合であることを示す。 とする。この…

概要 補題1の証明、補題2の証明、補題3の証明 補題1 - 点列の収束先は一意的 を距離空間とする。 を収束列とする。 このとき、 の収束先は "一意的" である。 証明 かつ として、 を示せばよい。 実際、三角不等式より、 よって、はさみうちの原理より、 ゆ…

概要 開球、有界な集合、有界な点列、部分列、収束列、コーシー列の定義 開球、有界な集合、有界な点列、部分列 ・ を距離空間とする。 (i) とする。 を " を中心とする半径 の開球" という。 (ii) に対し、 と となるとき、 " は有界" であるという。 (iii)…

概要 距離空間の例 距離空間の例 実数全体の集合 有理数全体の集合 ※ は完備性をもつが、 は完備性をもたない。(完備性については後述) 、 次元ユークリッド空間 ・ ・ ・ 数列空間 ※スクリプト書体のコマンド\mathscrが効かないので、l^pが正しく表示されな…

概要 このシリーズの目標、ユークリッド距離の定義、距離空間の定義 このシリーズの目標 ・ハーン・バナッハの定理 ・開写像定理 ・閉グラフ定理 ・一様有界性の定理 ユークリッド距離 上の 点 ・ ・ ・ (対称性) ・ (三角不等式) 上の距離 が満たす上記の性…

概要 補題6の証明、補題7の証明 補題6 を 上の測度とする。 に対し、" の への制限 " をとおく。このとき、 も 上の測度となる。証明 は明らか。 (i) (ii) とすると、 となるから、これは、 が劣加法性を満たすことを示している。□ 補題7 を 上の測度、 は -…

概要 補題1の証明、可測集合の定義、補題2の証明 補題1 ： 上の測度とする。 ならば、 が成り立つ。 証明 とおく。 となっている。 の劣加法性より 可測集合の定義 を 上の測度とする。 が -可測(または可測) であるとは、 に対し、 が成り立つことである。 …

概要 ±∞を含む計算の約束、測度の定義、測度の例 ±∞を含む計算の約束 ではない集合 つまり、 測度の定義 に対し、 が以下を満たすとき (i) (ii) (劣加法性) は 上の測度という。 例1(ディラック測度) 例2(計数測度) を の要素の個数

概要 定理3の証明 定理3 可測集合列 は単調減少とし、 とする。 このとき、 が成り立つ。 証明 まず、 は単調減少だから に対し、 は下に有界な単調減少数列 が存在。 と は互いに素な可測集合 ここで、 だから、 より かつ よって、 より(移項ができて) さ…