関数解析④～距離空間の性質～ - 機械学習基礎理論独習

概要

補題1の証明、補題2の証明、補題3の証明

補題1 - 点列の収束先は一意的

$(X,d)$ を距離空間とする。 $\bigl\{x_n\bigr\}_{n=1}^\infty$ を収束列とする。
このとき、 $\bigl\{x_n\bigr\}_{n=1}^\infty$ の収束先は "一意的" である。
証明
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x,$ かつ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=y$ として、 $x=y$ を示せばよい。
実際、三角不等式より、

$\begin{eqnarray} 0\leq d(x,y)&\leq& d(x,x_n)+d(x_n,y)\\ &=&\underbrace{d(x_n,x)}_{=0}+\underbrace{d(x_n,x)}_{=0}\rightarrow 0\ (n\rightarrow 0) \end{eqnarray}$

よって、はさみうちの原理より、 $d(x,y)=0$
ゆえに、 $x=y$ □

補題2 - 収束列はコーシー列

$\bigl\{x_n\bigr\}_{n=1}^\infty$ を収束列とすると、 $\bigl\{x_n\bigr\}_{n=1}^\infty$ はコーシー列である。
証明
$\bigl\{x_n\bigr\}_{n=1}^\infty$ は収束列だから、 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\exists x$ 。
このとき、 $\forall n,m\in{\mathbb N}$ に対し、三角不等式を用いて、

$\begin{eqnarray} 0\leq d(x_n,x_m)&\leq& d(x_n,x)+d(x,x_m)\\ &=&\underbrace{d(x_n,x)}_{\rightarrow 0\ (n\rightarrow\infty)}+\underbrace{d(x_m,x)}_{\rightarrow 0\ (m\rightarrow\infty)}\rightarrow 0\ (n,m\rightarrow\infty) \end{eqnarray}$

よって、 $\displaystyle\lim_{n,m\rightarrow\infty}d(x_n,x_m)=0$ となり、これはコーシー列の定義そのもの □

補題3 - コーシー列は有界列

$\bigl\{x_n\bigr\}_{n=1}^\infty$ をコーシー列とする。このとき、 $\bigl\{x_n\bigr\}_{n=1}^\infty$ は有界である。
証明
$\bigl\{x_n\bigr\}_{n=1}^\infty$ をコーシー列だから、 $\displaystyle\lim_{n,m\rightarrow\infty}d(x_n,x_m)=0$ 。
つまり、 $\forall\epsilon>0,\exists n_0\in{\mathbb N},s.t.\forall n,m>n_0,d(x_n,x_m)<\epsilon$ 。
特に、 $\epsilon=1,m=n_0+1$ とすると、 $\forall n>n_0$ に対し、

$\begin{eqnarray} d(x_n,x_{n_0+1})<1 \end{eqnarray}$

さて、 $x_0\in X$ を固定する。 $\forall n > n_0$ に対し、三角不等式を用いて、

$\begin{eqnarray} d(x_0,x_n)&\leq& d(x_0,x_{n_0+1})+d(x_{n_0+1},x_n)\\ &\leq& d(x_0,x_{n_0+1})+1\tag{1} \end{eqnarray}$

また、

$\begin{eqnarray} r:=\max\{d(x_0,x_1),\cdots,d(x_0),x_{n_0}\}<\infty\tag{2} \end{eqnarray}$

とおくと、 $\forall n\in{\mathbb N}$ に対し、 $(1),(2)$ より

$\begin{eqnarray} d(x_0,x_n)<\max\{r,d(x_0,x_{n_0+1})+1\}+1=:r'<\infty \end{eqnarray}$

を得る。
ゆえに、 $\forall n \in {\mathbb N}$ に対し、 $d(x_0,x_n) < r'$ 。
この式は、 $\forall n\in{\mathbb N}$ に対し、 $x_n\in B_X(x_0,r')$ 。
よって、 $\bigl\{x_n\bigr\}_{n=1}^\infty$ は有界である。□