ベジェ曲線の定義

ベジェ曲線とは

ベジェ曲線と言えば、普通「3次ベジェ曲線」を意味することが多いと思います。
「3次ベジェ曲線」は以下の図のように4つ制御点からなる曲線のことで、扱いやすいのが特徴です。

1次ベジェ曲線の定義

パラメータ $t$ は $0$ から $1$ を取るとします。

まずは、1次ベジェ曲線です。
制御点は ${\bf P}_0,{\bf P}_1$ の $2$ つです。
線分 ${\bf P}_0{\bf P}_1$ を $t : 1 − t$ の比率で分割する点を ${\bf P}(t)$ とします。
このとき、 ${\bf P}(t)$ は以下のように表せます。

$\begin{eqnarray} {\bf P}(t)=(1-t){\bf P}_0+t{\bf P}_1\tag{1} \end{eqnarray}$

この式 $(1)$ はただの線分です。
なので、 $1$ 次ベジェ曲線って使われることはないと思います。

次に、 $2$ 次ベジェ曲線です。
$1$ 次ベジェ曲線と異なり、制御点は ${\bf P}_0,{\bf P}_1,{\bf P}_2$ の $3$ つです。
線分 ${\bf P}_0{\bf P}_1,{\bf P}_1{\bf P}_2$ をそれぞれ $t : 1 − t$ の比率で分割する点を ${\bf P}_3,{\bf P}_4$ とします。
このとき、式 $(1)$ より、 ${\bf P}_3,{\bf P}_4$ は以下のように表せます。

$\begin{eqnarray} &&{\bf P}_3=(1-t){\bf P}_0+t{\bf P}_1\tag{2}\\ &&{\bf P}_4=(1-t){\bf P}_1+t{\bf P}_2\tag{3} \end{eqnarray}$

線分 ${\bf P}_3{\bf P}_4$ を $t : 1 − t$ の比率で分割する点を ${\bf P}(t)$ とします。

$\begin{eqnarray} {\bf P}(t)=(1-t){\bf P}_3+t{\bf P}_4\tag{4} \end{eqnarray}$

式 $(2),(3)$ を式 $(4)$ に代入します。

$\begin{eqnarray} {\bf P}(t)&=&(1-t)\{(1-t){\bf P}_0+t{\bf P}_1\}+t\{(1-t){\bf P}_1+t{\bf P}_2\}\\ &=&(1-t)^2{\bf P}_0+2(1-t)t{\bf P}_1+t^2{\bf P}_2\tag{5} \end{eqnarray}$

「 $2$ 次ベジェ曲線」は、表現力に乏しいためあまり使われません。

3次ベジェ曲線の定義

お待たせしました $3$ 次ベジェ曲線です。
制御点は ${\bf P}_0,{\bf P}_1,{\bf P}_2,{\bf P}_3$ の $4$ つです。

線分 ${\bf P}_0{\bf P}_1,{\bf P}_1{\bf P}_2,{\bf P}_2{\bf P}_3$ をそれぞれ $t : 1 − t$ の比率で分割する点を ${\bf P}_4,{\bf P}_5,{\bf P}_6$ とします。
線分 ${\bf P}_4{\bf P}_5,{\bf P}_5{\bf P}_6$ をそれぞれ $t : 1 − t$ の比率で分割する点を ${\bf P}_7,{\bf P}_8$ とします。

このとき、式 $(5)$ より、 ${\bf P}_7,{\bf P}_8$ は以下のように表せます。

$\begin{eqnarray} &&{\bf P}_7=(1-t)^2{\bf P}_0+2(1-t)t{\bf P}_1+t^2{\bf P}_2\tag{6}\\ &&{\bf P}_8=(1-t)^2{\bf P}_1+2(1-t)t{\bf P}_2+t^2{\bf P}_3\tag{7} \end{eqnarray}$

線分 ${\bf P}_7{\bf P}_8$ を $t : 1 − t$ の比率で分割する点を ${\bf P}(t)$ とします。

$\begin{eqnarray} {\bf P}(t)=(1-t){\bf P}_7+t{\bf P}_8\tag{8} \end{eqnarray}$

式 $(6),(7)$ を式 $(8)$ に代入します。

$\begin{eqnarray} {\bf P}(t)&=&(1-t)\{(1-t)^2{\bf P}_0+2(1-t)t{\bf P}_1+t^2{\bf P}_2\}+t\{(1-t)^2{\bf P}_1+2(1-t)t{\bf P}_2+t^2{\bf P}_3\}\\ &=&(1-t)^3{\bf P}_0+3(1-t)^2t{\bf P}_1+3(1-t)t^2{\bf P}_2+t^3{\bf P}_3\tag{9} \end{eqnarray}$