ベジェ曲線の微分

3次ベジェ曲線の定義

3次ベジェ曲線の式を載せておきます。 ${\bf P}_0,{\bf P}_1,{\bf P}_2,{\bf P}_3$ は制御点で、 $t\in[0,1]$ はパラメータです。

$\begin{eqnarray} {\bf P}(t)=(1-t)^3{\bf P}_0+3(1-t)^2t{\bf P}_1+3(1-t)t^2{\bf P}_2+t^3{\bf P}_3\tag{1} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}{\bf P}(t)}{{\rm d}t}&=&\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(1-t)^3{\bf P}_0+\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}3(1-t)^2t{\bf P}_1+\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}3(1-t)t^2{\bf P}_2+\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}t^3{\bf P}_3\\ &=&-3(1-t)^2{\bf P}_0+3(3t^2-4t+1){\bf P}_1+3(-3t^2+2t){\bf P}_2+3t^2{\bf P}_3\tag{2} \end{eqnarray}$

式 $(2)$ の両辺に $1/3$ を掛けて、変形します。

$\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\frac{{\rm d}{\bf P}(t)}{{\rm d}t}&=&(1-t)^2\left({\bf P}_1-{\bf P}_0\right)+2(1-t)t\left({\bf P}_2 - {\bf P}_1\right)+t^2({\bf P}_3-{\bf P}_2)\\ &=&(1-t)^2 {\bf P}_{01}+2(1-t)t{\bf P}_{12}+t^2{\bf P}_{23}\tag{3} \end{eqnarray}$

式 $(3)$ で、 ${\bf P}_{01}={\bf P}_1-{\bf P}_0,{\bf P}_{12}={\bf P}_2-{\bf P}_1,{\bf P}_{23}={\bf P}_3-{\bf P}_2$ とおきました。
式 $(3)$ は、制御点が ${\bf P}_{01},{\bf P}_{12},{\bf P}_{23}$ の $2$ 次ベジェ曲線であることが分かります。

ベジェ曲線の端点( $t=0,1$ )の1階微分を求めてみます。
式 $(3)$ に $t = 0, 1$ を代入して整理します。

$\begin{eqnarray} &&\left.\frac{{\rm d}{\bf P}(t)}{{\rm d}t}\right |_{t=0}=3{\bf P}_{01}\tag{4}\\ &&\left.\frac{{\rm d}{\bf P}(t)}{{\rm d}t}\right |_{t=1}=3{\bf P}_{23}\tag{5} \end{eqnarray}$

式 $(4),(5)$ より、 ${\bf P}_0$ の1階微分は、 ${\bf P}_0,{\bf P}_1$ のみで、 ${\bf P}_3$ の1階微分は、 ${\bf P}_2,{\bf P}_3$ のみで求まることが分かります。

3次ベジェ曲線の2階微分

式 $(3)$ をパラメータ $t$ で微分します。

$\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\frac{{\rm d}^2{\bf P}(t)}{{\rm d}t^2}&=&\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(1-t)^2 {\bf P}_{01}+\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}2(1-t)t{\bf P}_{12}+\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}t^2{\bf P}_{23}\\ &=&-2(1-t) {\bf P}_{01}+2(-2t+1){\bf P}_{12}+2t{\bf P}_{23}\tag{6} \end{eqnarray}$

式 $(6)$ の両辺に $1/2$ を掛けて、変形します。

$\begin{eqnarray} \frac{1}{6}\frac{{\rm d}^2{\bf P}(t)}{{\rm d}t^2}=(1-t)\left({\bf P}_{12}-{\bf P}_{01}\right)+t\left({\bf P}_{23}-{\bf P}_{12}\right)\tag{7} \end{eqnarray}$