鏡映変換を2回行うことで回転変換は実現できる

四元数で示してみる

位置ベクトルを ${\bf p}=(x,y,z)\in{\mathbb R}^3$ 、平面の単位法線ベクトルを ${\bf n},{\bf u}\in{\mathbb R}^3$ 、2回の鏡映変換後の位置ベクトル ${\bf p}'\in{\mathbb R}^3$ は四元数を使って、

$\begin{eqnarray} (0,{\bf p}')=(0,{\bf u})(0,{\bf n})(0,{\bf p})(0,{\bf n})(0,{\bf u})\tag{1} \end{eqnarray}$

で表せます。
この $(1)$ の右辺が回転を表すことを示します。

$\begin{eqnarray} (0,{\bf u})(0,{\bf n})(0,{\bf p})(0,{\bf n})(0,{\bf u})&=&(-{\bf u}^\top{\bf n},{\bf u}\times{\bf n})(0,{\bf p})(-{\bf n}^\top{\bf u},{\bf n}\times{\bf u})\\ &=&(-{\bf u}^\top{\bf n},{\bf u}\times{\bf n})(0,{\bf p})(-{\bf u}^\top{\bf n},{\bf u}\times{\bf n})^*\\ &=&({\bf u}^\top{\bf n},{\bf n}\times{\bf u})(0,{\bf p})({\bf u}^\top{\bf n},{\bf n}\times{\bf u})^*\tag{2} \end{eqnarray}$

この2つの平面のなす角を $\theta/2$ します。また、 ${\bf w}=\dfrac{{\bf n}\times{\bf u}}{\|{\bf n}\times{\bf u}\|}$ とすると、 $({\bf u}^\top{\bf n},{\bf n}\times{\bf u})$ は以下のように書けます。