鏡映変換 - 機械学習基礎理論独習

鏡映変換とは

鏡映変換とは平面で折り返すことです。
位置ベクトルを ${\bf p}=(x,y,z)\in{\mathbb R}^3$ 、平面の単位法線ベクトルを ${\bf n}=(n_x,n_y,n_z)\in{\mathbb R}^3$ とすると、鏡映変換後の位置ベクトル ${\bf p}'\in{\mathbb R}^3$ は

$\begin{eqnarray} {\bf p}'={\bf p}-2({\bf n}^\top{\bf p}){\bf n}\tag{1} \end{eqnarray}$

となります。

鏡映変換を行列で表す

鏡映変換は行列で表すこともできます。

$\begin{eqnarray} {\bf p}'&=&{\bf p}-2({\bf n}^\top{\bf p}){\bf n}\\ &=&\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-2(n_xx+b_yy+c_zz) \begin{pmatrix}n_x\\n_y\\n_z\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2{n_x}^2x -2n_xn_yy -2n_xn_zz\\ -2n_xn_yx -2{n_y}^2y -2n_yn_zz\\ -2n_xn_zx -2n_yn_zy z-2{n_z}^2z\\ \end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -2{n_x}^2 & -2n_xn_y & -2n_xn_z\\ -2n_xn_y & -2{n_y}^2 & -2n_yn_z\\ -2n_xn_z & -2n_yn_z & -2{n_z}^2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} 1-2{n_x}^2 & -2n_xn_y & -2n_xn_z\\ -2n_xn_y & 1-2{n_y}^2 & -2n_yn_z\\ -2n_xn_z & -2n_yn_z & 1-2{n_z}^2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\tag{2} \end{eqnarray}$

$(2)$ より、鏡映変換 ${\bf M}_{\bf n}\in{\mathbb R}^{3\times 3}$ は、以下のように表せます。

$\begin{eqnarray} {\bf M}_{\bf n}= \begin{pmatrix} 1-2{n_x}^2 & -2n_xn_y & -2n_xn_z\\ -2n_xn_y & 1-2{n_y}^2 & -2n_yn_z\\ -2n_xn_z & -2n_yn_z & 1-2{n_z}^2\\ \end{pmatrix}\tag{3} \end{eqnarray}$

鏡映変換を四元数で表す

$(0,{\bf n}),(0, {\bf p})\in{\mathbb H}$ の積 $(0,{\bf n})(0, {\bf p})(0,{\bf n})$ が鏡映変換であることを示します。

$\begin{eqnarray} (0,{\bf n})(0, {\bf p})(0,{\bf n})&=&(0,{\bf n})(-{\bf p}^\top{\bf n},{\bf p}\times{\bf n})\\ &=&(-{\bf n}^\top\left({\bf p}\times{\bf n}\right), \left(-{\bf p}^\top{\bf n}\right){\bf n}+{\bf n}\times\left({\bf p}\times{\bf n}\right))\\ &=&(0,-\left({\bf p}^\top{\bf n}\right){\bf n}+||{\bf n}||^2{\bf p}-\left({\bf n}^\top{\bf p}\right){\bf n})\\ &=&(0,{\bf p}-2({\bf n}^\top{\bf p}){\bf n})\\ &=&(0,{\bf p}')\tag{4} \end{eqnarray}$

$(4)$ より、 $(0,{\bf n})(0, {\bf p})(0,{\bf n})$ が鏡映変換であることが示せました。

参考リンク

鏡映 - Wikipedia

参考文献

四元数の発見 p70-p82