関数解析⑤～完備距離空間の定義～ - 機械学習基礎理論独習

概要

完備距離空間の定義、定理1の証明

完備距離空間の定義

$(X,d)$ を距離空間とする。
任意のコーシー列 $\bigl\{x_n\bigr\}_{n=1}^\infty\subset X$ が収束列となるとき、
$({\exists x\in X\ s.t.\ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x})$
$(X,d)$ は完備距離空間という。

定理1

実数全体の集合 $\mathbb R$ は距離 $d(x,y):=|x-y|\ (x,y\in{\mathbb R})$ のもとで完備距離空間である。
証明
$\bigl\{x_n\bigr\}_{n=1}^\infty\subset X$ をコーシー列とする。
補題 $3$ より、 $\bigl\{x_n\bigr\}_{n=1}^\infty\subset X$ は有界列となる。
よって、 $\overline{x_n}:=\displaystyle\sup_{k\geq n}x_k\ (n\in{\mathbb N})$ とおくと、
$\bigl\{\overline{x_n}\bigr\}_{n=1}^\infty$ は有界な単調減少列となるから、
$x^*:=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{x_n}=\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n\in{\mathbb R}$ (上極限)が存在する。
さて、 $\bigl\{x_n\bigr\}_{n=1}^\infty\subset X$ はコーシー列であるから、 $\displaystyle\lim_{n,m\rightarrow\infty}|x_n-x_m|=0$ 、すなわち、
$\forall\epsilon>0,\exists n_0\in{\mathbb N}\ s.t.\ \forall n, m\geq n_0,\underbrace{|x_n-x_m| < \epsilon}_{\Leftrightarrow x_m-\epsilon < x_n < x_m+\epsilon}$
特に、 $\forall\epsilon>0,\exists n_0\in{\mathbb N}\ s.t.\ \forall n, m\geq n_0,x_m-\epsilon < x_n \leq \overline{x_n}$
となるが、上式で、 $n\rightarrow\infty$ とすると、
$\forall\epsilon>0,\exists n_0\in{\mathbb N}\ s.t.\ \forall m\geq n_0,x_m-\epsilon < x_n \geq \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \overline{x_n}=x^*\ \cdots(1)$
一方、 $\forall\epsilon>0,\exists n_0\in{\mathbb N}\ s.t.\ \forall n,m\geq n_0,\overline{x_n}:=\displaystyle\sup_{k\geq n}x_k\leq\displaystyle\sup_{k\geq n_0}x_k\leq x_m+\epsilon$
となるから、上式で $n\rightarrow\infty$ として、 $\forall m\geq n_0$ に対し、 $x^*=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\leq x_m+\epsilon\ \cdots(2)$
$\forall\epsilon>0,\exists n_0\in{\mathbb N}\ s.t.\ \forall m\geq n_0,x_m-\epsilon \geq x^* \geq x_m+\epsilon\Leftrightarrow|x_m-x^*|\leq\epsilon$
これは、 $\displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty}x_m=x^*(=\displaystyle\limsup_{m\rightarrow\infty}x_m)$
よって、 $\bigl\{x_n\bigr\}_{n=1}^\infty\subset X$ は収束列である。□