直積集合

順序対

一般に、二つのもの $a,b$ から作られた対 $(a,b)$ なるものを、 $a$ と $b$ とから作られた順序対という。
二つの順序対 $(a,b)$ と $(a',b')$ とが等しいのは $a=a'$ かつ $b=b'$ がともに成立する場合に限るものと定める。
$(a, b)$ と $(a',b')$ が等しいことを

$\begin{eqnarray} (a, b) = (a', b')\ または\ (a', b') = (a, b) \end{eqnarray}$

と書く。また $(a,b)=(a',b')$ でないことを

$\begin{eqnarray} (a, b) \not= (a', b')\ または\ (a', b') \not= (a, b) \end{eqnarray}$

で表す。

二つのもの $a,b$ から作られた集合 $\{a,b\}$ と順序対 $(a,b)$ とは、はっきり区別せねばならない。
例えば、 $\{a,b\} = \{b, a\}$ は常に成り立つが、 $a=b$ でない限り $(a, b) = (b, a)$ とはならないのである。

$A,B$ を二つの集合とする。 $A$ の元 $a$ と $B$ の元 $b$ とから作られる順序対
$(a, b)$ の全体から成る集合を、 $A$ と $B$ との直積といい、 $A\times B$ で表す。

例4.1 $A=\{1,2,3\},\ B=\{1,2\}$ に対して、

$\begin{eqnarray} A\times B=\{(1,1),\ (1,2),\ (2,1),\ (2,2),\ (3,1),\ (3,2)\} \end{eqnarray}$

二つの集合 $A,B$ のいずれかが空集合であれば、 $A$ の元と $B$ の元とから作られる順序対は存在しない。
従って、直積 $A\times B$ は空集合である。
さらに、 $n$ 個の集合 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ について、各 $A_i$ から一つずつ元 $a_i$ をとり
順番に並べて組 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ を作る。二つの組 $(a_1,\cdots,a_n)$ と $({a_1}',\cdots,{a_n}')$ とが
等しいのは $a_1= {a_1}',\cdots,a_n = {a_n}'$ の場合に限るものと定める。このような組
$(a_1,\cdots,a_n)$ の全体の集合を $A_1,A_2,\cdots,A_n$ の直積といい、 $A_1\times A_2\times\cdots\times A_n$ で表す。