問題 の結果を用いて、ベータ分布の平均、分散、およびモードがそれぞれになることを示せ。 参照 解答 平均を求めます。式より、式が示せました。を求めます。分散を求めます。式より、式が示せました。をで微分して、とおきます。式より、式が示せました。

問題 この演習問題では.、のベータ分布が、が成立するように正しく正規化されていることを証明する。 これはを示すことと等価である。 ガンマ関数の定義よりを得る。 この式を用いて、次のようにしてを証明せよ。 まず、についての積分を、についての積分の…

問題 この演習問題では、二項分布が正規化されていることを説明する。 まず、全部で個ある対象から個の同じものを選ぶ組み合わせの数の定義を用いて、を示せ。 この結果を用い、帰納法で次の結果を証明せよ。これは、二項定理(binomial theorem)として知られ…

問題 連続変数上で定義された確率密度を考える。 により非線形変換を施すと密度はの変換を受ける。 を微分して、に関する密度を最大にする位置とに関する密度を最大にする位置とが、 ヤコビ因子の影響により一般には単純なという関係にないことを示せ。 これ…