点と平面の距離

点 ${\bf a}$ から平面 ${\bf w}^\top{\bf x}+b=0$ に下した垂線との交点 ${\bf h}$ との距離を求めます。

$\begin{eqnarray} &&{\bf a}-{\bf h}=d\frac{\bf w}{||{\bf w}||}\\ &&\Leftrightarrow{\bf h}={\bf a}-d\frac{\bf w}{||{\bf w}||}\tag{1} \end{eqnarray}$

${\bf h}$ は平面 ${\bf w}^\top{\bf x}+b=0$ 上の点なので

$\begin{eqnarray} &&{\bf w}^\top\left({\bf a}-d\frac{\bf w}{|||{\bf w}|}\right)+b=0\\ &&\Leftrightarrow{\bf w}^\top{\bf a}-d\frac{||{\bf w}||^2}{||{\bf w}||}+b=0\\ &&\Leftrightarrow{\bf w}^\top{\bf a}-d||{\bf w}||+b=0\\ &&d=\frac{{\bf w}^\top{\bf a}+b}{||{\bf w}||}\tag{2} \end{eqnarray}$