2次関数の平行移動

2次関数を平行移動すると、1次の項が消すことができます。
以下の関数 $f$ について考えます。

$\begin{eqnarray} &&f({\bf x})=\frac{1}{2}{\bf x}^\top{\bf H}{\bf x}+{\bf a}^\top{\bf x}+{\rm const.}\tag{1} \end{eqnarray}$

ただし、 ${\bf H}\in\mathbb{R}^{n\times n},{\bf a},{\bf x}\in\mathbb{R}^N$ で ${\bf H}^\top={\bf H}$ とします。

${\bf p}$ だけ平行移動します。

$\begin{eqnarray} f({\bf x}-{\bf p})&=&\frac{1}{2}({\bf x}-{\bf p})^\top{\bf H}({\bf x}-{\bf p})+{\bf a}^\top({\bf x}-{\bf p})+{\rm const.}\\ &=&\frac{1}{2}({\bf x}^\top{\bf H}{\bf x}-2{\bf x}^\top{\bf H}{\bf p}+{\bf p}^\top{\bf H}{\bf p})+{\bf a}^\top{\bf x}-{\bf a}^\top{\bf p}+{\rm const.}\tag(1)\\ \end{eqnarray}$

${\bf H}{\bf p}={\bf a}$ を満たすように ${\bf p}$ を選びます。

$\begin{eqnarray} f({\bf x}-{\bf p})&=&\frac{1}{2}({\bf x}^\top{\bf H}{\bf x}-2{\bf x}^\top{\bf H}{\bf p}+{\bf p}^\top{\bf H}{\bf p})+{\bf a}^\top{\bf x}-{\bf a}^\top{\bf p}+{\rm const.}\\ &=&\frac{1}{2}{\bf x}^\top{\bf H}{\bf x}-{\bf x}^\top{\bf a}+\frac{1}{2}{\bf p}^\top{\bf a}+{\bf a}^\top{\bf x}-{\bf a}^\top{\bf p}+{\rm const.}\\ &=&\frac{1}{2}{\bf x}^\top{\bf H}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf p}^\top{\bf a}+{\rm const.}\tag{2}\\ \end{eqnarray}$