機械学習基礎理論独習

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オイラー・ラグランジュ方程式を使う練習およびN次元への拡張

解析力学

例: 1次元自由粒子

自由粒子とは何の力が加えられていないという意味です。
すなわちポテンシャルUはU=0です。

この時のラグランジアンLは

\begin{eqnarray} L=T-U=\frac{1}{2}m\dot{x}^2\tag{1} \end{eqnarray}

となります。

E-L eq.は

\begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)=\frac{\partial L}{\partial x}\\ &&\Leftrightarrow\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial }{\partial\dot{x}}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2\right)\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2\right)\\ &&\Leftrightarrow\frac{\rm d}{{\rm d}t}(m\dot{x})=0\\ &&\Leftrightarrow m\ddot{x}=0\tag{2} \end{eqnarray}

となり、等速直線運動を表します。

例: 単振動

図1
f:id:olj611:20211011143026p:plain:h100

このとき、運動エネルギーTはT=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2であり、

ポテンシャルエネルギーPはP=\dfrac{1}{2}kx^2です。

よって、ラグランジアンLはL=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-\dfrac{1}{2}kx^2です。

E-L eq.は

\begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)=\frac{\partial L}{\partial x}\\ &&\Leftrightarrow\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial}{\partial\dot{x}}\left(\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-\dfrac{1}{2}kx^2\right)\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-\dfrac{1}{2}kx^2\right)\\ &&\Leftrightarrow\frac{\rm d}{{\rm d}t}(m\dot{x})=-kx\\ &&\Leftrightarrow m\ddot{x}=-kx\tag{3} \end{eqnarray}

となり、ばねの運動時の単振動のeomが出てきました。

2 or 3次元ののE-L eq.

デカルト座標の場合を考えます。
1次元の場合のラグランジアンLは

\begin{eqnarray} L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-U(x)\tag{4} \end{eqnarray}

でした。
3次元の場合は、

\begin{eqnarray} L=\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2\right)-U(x,y,z)\tag{5} \end{eqnarray}

です。

1次元の場合のE-L eq. は

\begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)=\frac{\partial L}{\partial x}\tag{6} \end{eqnarray}

でした。
3次元の場合は、

\begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)=\frac{\partial L}{\partial x}\tag{7}\\ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}\right)=\frac{\partial L}{\partial y}\tag{8}\\ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{z}}\right)=\frac{\partial L}{\partial z}\tag{9} \end{eqnarray}

です。
q^1=x,q^2=y,q^3=zとおくと、式(7),(8),(9)は、以下のようにまとめて書けます。

\begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q^i}}\right)=\frac{\partial L}{\partial q^i}\ \ (i=1,2,3)\tag{10} \end{eqnarray}

式(10)は極座標でも円筒座標の場合でも成り立ちます。

偉人の名言

f:id:olj611:20211011150418p:plain:w300
私が人生で学んだことは
自分がいま持っている力を
ぜんぶ使えということです。
スティーヴン・ホーキング

参考リンク

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