直交座標系の変換

正規直交基底 ${\bf i}',{\bf j}',{\bf k}'$ を軸とする座標系上の点の位置 $\bf p$ を、
この座標系と原点を共有する別の正規直交基底 ${\bf i},{\bf j},{\bf k}$ を軸とする座標系に移す変換は、回転の変換となります。
それぞれの座標系における $\bf p$ の座標値を、 $(x,y,z)$ と $(x',y',z')$ とすると、以下が成り立ちます。

$\begin{eqnarray} &&x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}=x'{\bf i}'+y'{\bf j}'+z'{\bf k}'\\ &&\Rightarrow \begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\bf i}' & {\bf j}' & {\bf k}'\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}\\ &&\Rightarrow \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k}\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}{\bf i}' & {\bf j}' & {\bf k}'\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}\\ &&\Rightarrow \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k}\end{pmatrix}^\top \begin{pmatrix}{\bf i}' & {\bf j}' & {\bf k}'\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}\\ &&\Rightarrow \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\bf i}^\top \\ {\bf j}^\top \\ {\bf k}^\top\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\bf i}' & {\bf j}' & {\bf k}'\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}\\ &&\Rightarrow \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\bf i}^\top{\bf i}' & {\bf i}^\top{\bf j}' & {\bf i}^\top{\bf k}'\\ {\bf j}^\top{\bf i}' & {\bf j}^\top{\bf j}' & {\bf j}^\top{\bf k}' \\ {\bf k}^\top{\bf i}' & {\bf k}^\top{\bf j}' & {\bf k}^\top{\bf k}' \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z'\end{pmatrix}\tag{1} \end{eqnarray}$

$(1)$ より求める回転行列 ${\bf M}$ は以下のようになります。
※ $\begin{pmatrix}{\bf i} & {\bf j} & {\bf k}\end{pmatrix}$ は ${\bf i},{\bf j},{\bf k}$ が正規直交基底なので、直交行列です。
※直交行列の逆行列は転置行列であることを用いて、上の式変形をしています。

$\begin{eqnarray} {\bf M}=\begin{pmatrix} {\bf i}^\top{\bf i}' & {\bf i}^\top{\bf j}' & {\bf i}^\top{\bf k}'\\ {\bf j}^\top{\bf i}' & {\bf j}^\top{\bf j}' & {\bf j}^\top{\bf k}' \\ {\bf k}^\top{\bf i}' & {\bf k}^\top{\bf j}' & {\bf k}^\top{\bf k}' \\ \end{pmatrix}\tag{2} \end{eqnarray}$

i,j,kが軸ベクトルの場合

${\bf i},{\bf j},{\bf k}$ がそれぞれ $x,y,z$ の各軸の軸ベクトルすなわち ${\bf i}=(1,0,0),{\bf j}=(0,1,0),{\bf k}=(0,0,1)$ の時、回転行列は以下のように簡単になります。

$\begin{eqnarray} {\bf M} &=& \begin{pmatrix}{\bf i}^\top \\ {\bf j}^\top \\ {\bf k}^\top\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\bf i}' & {\bf j}' & {\bf k}'\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\bf i}' & {\bf j}' & {\bf k}'\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}{\bf i}' & {\bf j}' & {\bf k}'\end{pmatrix}\tag{3} \end{eqnarray}$

実際の例

実際ある例は、 ${\bf i},{\bf j},{\bf k}$ がそれぞれ $x,y,z$ の各軸の軸ベクトルで、 $(x',y',z')$ を知りたいことが多いと思います。(ビュー変換はまさにその例です)
要は、 $(x,y,z)$ を $(x',y',z')$ に変換したいわけです。
回転行列は直交行列なので、回転行列の転置行列を掛ければよいですね。(直交行列の逆行列は転置行列)
この時の変換行列を以下に示します。

$\begin{eqnarray} {\bf M}^\top=\begin{pmatrix}{\bf i}' & {\bf j}' & {\bf k}'\end{pmatrix}^\top =\begin{pmatrix}{{\bf i}'}^\top \\ {{\bf j}'}^\top \\ {{\bf k}'}^\top\end{pmatrix} \tag{4} \end{eqnarray}$

参考文献

コンピュータグラフィックスの基礎 p30-p32

参考リンク

ビュー変換
 直交行列の５つの定義と性質の証明