二重数 - 機械学習基礎理論独習

二重数の定義

二重数は、以下のように定義されます。

二重数の定義

$\begin{eqnarray} z=a+b\epsilon\ (a,b\in{\mathbb R},\epsilon\not=0,\epsilon^2=0)\end{eqnarray}$

二重数は、複素数における $i$ が $\epsilon$ に代わって、 $i^2=-1$ の代わりに $\epsilon^2=0$ であるという感じです。
別名は、双対数です。英語では、dual numbers です。

二重数の和と積は、以下のように定義されます。

二重数の和と積

$\begin{eqnarray} z_1+z_2&=&(a_1+b_1\epsilon)+(a_2+b_2\epsilon)\\ &=&(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\epsilon\\ z_1z_2&=&(a_1+b_1\epsilon)(a_2+b_2\epsilon)\\ &=&a_1a_2+a_1b_2\epsilon+b_1\epsilon a_2+b_1\epsilon b_2\epsilon\\ &=&a_1a_2+(a_1b_2+b_1a_2)\epsilon+\underbrace{b_1b_2\epsilon^2}_{\epsilon^2=0}\\ &=&a_1a_2+(a_1b_2+b_1a_2)\epsilon\\ \end{eqnarray}$

共役二重数 $z^*$ は、以下のように定義されます。

共役二重数の定義

$z=a+b\epsilon$ を任意の二重数とする。

$\begin{eqnarray} z^*=a-b\epsilon \end{eqnarray}$

を $z$ の共役二重数と呼ぶ。

二重数 $z$ と共役二重数 $z^*$ の積を計算してみます。

共役二重数との積

$z=a+b\epsilon$ を任意の二重数とする。

$\begin{eqnarray} zz^*&=&(a+b\epsilon)(a-b\epsilon)\\ &=&a^2\\ z^*z&=&(a-b\epsilon)(a+b\epsilon)\\ &=&a^2 \end{eqnarray}$

二重数には、他にも単位二重数や、逆元などいろいろ定義がありそうですが、Wikipediaに記載がないのでこの辺で辞めます。

二重数による自動微分

二重数による応用としては、「自動微分」があります。
任意の実係数多項式 $P(x) = p_0 + p_1x + p_2x^2 + \cdots + p_nx_n$ が与えられているとします。
この時、以下が成り立ちます。

$\begin{eqnarray} P(a+b\epsilon)&=&p_0+p_1(a+b\epsilon)+p2_(a+b\epsilon)^2+\cdots+p_n(a+b\epsilon)^n\\ &=&p_0+p_1(a+b\epsilon)+p2_(a^2+2ab\epsilon)+\cdots+p_n(a^n+na^{n-1}b\epsilon)\ \ \ (\because (a+b\epsilon)^n=a^n+na^{n-1}b\epsilon)\\ &=&(p_0+p_1a+p_2a^2+\cdots+p_na^n)+(p_1+2p_2a+\cdots+np_na^{n-1})b\epsilon\\ &=&P(a)+P'(a)b\epsilon \end{eqnarray}$

参考リンク

二重数