二重四元数 - 機械学習基礎理論独習

定義

二重四元数は、以下のように定義されます。

二重四元数の定義

二重四元数 $\hat{q}$ を以下のように定義します。

$\begin{eqnarray} &&\hat{q}=a+b\epsilon=(a, b)\in\hat{\mathbb H}\\&&(a,b\in{\mathbb H},\epsilon\not=0,\epsilon^2=0)\end{eqnarray}$

本記事では、二重四元数は $\hat{q}$ のようにハットを付けます。
また、二重四元数には $a+b\epsilon$ と $(a,b)$ の2種類の書き方があります。よく使われるのは $(a,b)$ の方です。
二重四元数は英語で dual quaternions と言います。
$\hat{\mathbb H}$ は二重四元数全体の集合を表します。

和と積

二重四元数の和と積は、以下のように定義されます。

二重四元数の和と積

$\hat{q_1}=(a_1,b_1),\hat{q_2}=(a_2, b_2)\in\hat{\mathbb H}$ に対して、 $\hat{q_1}+\hat{q_2},\hat{q_1}\hat{q_2}$ は以下のように定義されます。

$\begin{eqnarray} \hat{q_1}+\hat{q_2}&=&(a_1+b_1\epsilon)+(a_2+b_2\epsilon)\\ &=&(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\epsilon\\ &=&(a_1+a_2,b_1+b_2)\\ \\ \hat{q_1}\hat{q_2}&=&(a_1+b_1\epsilon)(a_2+b_2\epsilon)\\ &=&a_1a_2+a_1b_2\epsilon+b_1\epsilon a_2+b_1\epsilon b_2\epsilon\\ &=&a_1a_2+(a_1b_2+b_1a_2)\epsilon+\underbrace{b_1b_2\epsilon^2}_{\epsilon^2=0}\\ &=&a_1a_2+(a_1b_2+b_1a_2)\epsilon\\ &=&(a_1a_2,a_1b_2+b_1a_2) \end{eqnarray}$

四元数の積は非可換なので、二重四元数の積も非可換です。

共役

二重四元数の共役は「四元数の共役」と「二重数の共役」と「両方の共役」の3つあります。
単に共役二重四元数といえば、「四元数の共役」 ${\hat{q}}^*$ を指すことが多いように思います。

四元数の共役

$\hat{q}=(a,b)\in\hat{\mathbb H}$ に対して、「四元数の共役」という意味の $\hat{q}$ の共役 ${\hat{q}}^*$ は以下のように定義されます。

$\begin{eqnarray} {\hat{q}}^*=(a,b)^*=(a^*,b^*) \end{eqnarray}$

二重数の共役

$\hat{q}=(a,b)\in\hat{\mathbb H}$ に対して、「二重数の共役」という意味の $\hat{q}$ の共役 $\overline{\hat{q}}$ は以下のように定義されます。

$\begin{eqnarray} \overline{\hat{q}}=\overline{(a,b)}=(a,-b) \end{eqnarray}$

両方の共役

$\hat{q}=(a,b)\in\hat{\mathbb H}$ に対して、「両方の共役」という意味の $\hat{q}$ の共役 $\overline{{\hat{q}}^*},\left(\overline{\hat{q}}\right)^*$ は以下のように定義されます。

$\begin{eqnarray} &&\overline{{\hat{q}}^*}=\overline{{(a,b)}^*}=\overline{(a^*,b^*)}=(a^*,-b^*)\\ &&\left(\overline{\hat{q}}\right)^*=\left(\overline{(a,b)}\right)^*=(a,-b)^*=(a^*,-b^*) \end{eqnarray}$

二重四元数の共役との積に関する性質をまとめてみます。

共役に関する性質

$\hat{p}=(a,b),\hat{q}=(c,d)\in\hat{\mathbb H}$ に対して、以下が成り立ちます。
$(a=(w_a,{\bf v}_a),b=(w_b,{\bf v}_b),c,d\in{\mathbb H},\ w_a,w_b\in{\mathbb R},\ {\bf v}_a,{\bf v}_b\in{\mathbb R}^3)$

$\begin{eqnarray} &&1.\ \ \ (\hat{p}+\hat{q})^*=\hat{p}^*+\hat{q}^*\\ &&2.\ \ \ \hat{p}\hat{p}^*=\hat{p}^*\hat{p}=(|a|^2,w_aw_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b)\\ &&3.\ \ \ (\hat{p}\hat{q})^*=\hat{q}^*\hat{p}^*\\ &&4.\ \ \ \overline{\hat{p}\hat{q}}=\overline{\hat{p}}\ \overline{\hat{q}}\\ &&5.\ \ \ \overline{(\hat{p}\hat{q})^*}=\overline{\hat{q}^*}\ \overline{\hat{p}^*}\\ \end{eqnarray}$

[1の証明]
$(\hat{p}+\hat{q})^*$ を計算します。

$\begin{eqnarray} (\hat{p}+\hat{q})^*&=&\left( (a,b)+(c,d)\right) ^*\\ &=&(a+c,b+d)^*\\ &=&(a^*+c^*,b^*+d^*)\\ \end{eqnarray}$

$\hat{p}^*+\hat{q}^*$ を計算します。

$\begin{eqnarray} \hat{p}^*+\hat{q}^*&=&(a,b)^*+(c,d)^*\\ &=&(a^*,b^*) + (c^*,d^*)\\ &=&(a^*+c^*,b^*+d^*)\\ \end{eqnarray}$

以上より、 $(\hat{p}+\hat{q})^*=\hat{p}^*+\hat{q}^*$ が示せました。

[2の証明]
2の証明の準備として、 $ab^*,ba^*,a^*b,b^*a$ を計算します。

$\begin{eqnarray} ab^*&=&(w_a,{\bf v}_a)(w_b,{\bf v}_b)^*\\ &=&(w_a,{\bf v}_a)(w_b,-{\bf v}_b)\\ &=&(w_aw_b-({\bf v}_a^\top(-{\bf v}_b)),w_a(-{\bf v}_b)+w_b{\bf v}_a+{\bf v}_a\times(-{\bf v}_b)\\ &=&(w_aw_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b,-w_a{\bf v}_b+w_b{\bf v}_a-{\bf v}_a\times{\bf v}_b)\\ ba^*&=&(ab^*)^*\\ &=&(w_aw_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b,-w_a{\bf v}_b+w_b{\bf v}_a-{\bf v}_a\times{\bf v}_b)^*\\ &=&(w_aw_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b,w_a{\bf v}_b-w_b{\bf v}_a+{\bf v}_a\times{\bf v}_b)\\ a^*b&=&(w_a,{\bf v}_a)^*(w_b,{\bf v}_b)\\ &=&(w_a,-{\bf v}_a)(w_b,{\bf v}_b)\\ &=&(w_aw_b-(-{\bf v}_a)^\top{\bf v}_b,w_a{\bf v}_b+w_b(-{\bf v}_a)+(-{\bf v}_a)\times{\bf v}_b)\\ &=&(w_aw_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b,w_a{\bf v}_b-w_b{\bf v}_a-{\bf v}_a\times{\bf v}_b)\\ b^*a&=&(a^*b)^*\\ &=&(w_aw_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b,w_a{\bf v}_b-w_b{\bf v}_a-{\bf v}_a\times{\bf v}_b)^*\\ &=&(w_aw_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b,-w_a{\bf v}_b+w_b{\bf v}_a+{\bf v}_a\times{\bf v}_b)\\ \end{eqnarray}$

$\hat{p}\hat{p}^*$ を計算します。

$\begin{eqnarray} \hat{p}\hat{p}^*&=&(a,b)(a,b)^*\\ &=&(a,b)(a^*,b^*)\\ &=&(aa^*,ab^*+ba^*)\\ &=&(|a|^2,w_aw_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b) \end{eqnarray}$

$\hat{p}^*\hat{p}$ を計算します。

$\begin{eqnarray} \hat{p}^*\hat{p}&=&(a,b)^*(a,b)\\ &=&(a^*,b^*)(a,b)\\ &=&(aa^*,a^*b+b^*a)\\ &=&(|a|^2,w_aw_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b) \end{eqnarray}$

以上より、 $\hat{p}\hat{p}^*=\hat{p}^*\hat{p}=(|a|^2,w_aw_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b)$ が示せました。

[3の証明]
$(\hat{p}\hat{q})^*$ を計算します。

$\begin{eqnarray} (\hat{p}\hat{q})^*&=&\left( (a,b)(c,d) \right) ^*\\ &=&(ac, ad+bc)^*\\ &=&(c^*a^*,d^*a^*+c^*b^*) \end{eqnarray}$

$\hat{q}^*\hat{p}^*$ を計算します。

$\begin{eqnarray} \hat{q}^*\hat{p}^*&=&(c,d)^*(a,b)^*\\ &=&(c^*,d^*)(a^*,b^*)\\ &=&(c^*a^*,c^*b^*+d^*a^*)\\ \end{eqnarray}$

以上より、 $(\hat{p}\hat{q})^*=\hat{q}^*\hat{p}^*$ が示せました。

[4の証明]
$\overline{\hat{p}\hat{q}}$ を計算します。

$\begin{eqnarray} \overline{\hat{p}\hat{q}}&=&\overline{(a,b)(c,d)}\\ &=&\overline{(ac, ad + bc)}\\ &=&(ac, -ad - bc)\\ \end{eqnarray}$

$\overline{\hat{p}}\ \overline{\hat{q}}$ を計算します。

$\begin{eqnarray} \overline{\hat{p}}\ \overline{\hat{q}}&=&\overline{(a,b)}\ \overline{(c,d)}\\ &=&(a,-b)(c, -d)\\ &=&(ac, -ad - bc)\\ \end{eqnarray}$

以上より、 $\overline{\hat{p}\hat{q}}=\overline{\hat{p}}\ \overline{\hat{q}}$ が示せました。

[5の証明]
$\overline{(\hat{p}\hat{q})^*}$ を計算します。

$\begin{eqnarray} \overline{(\hat{p}\hat{q})^*}&=&\overline{\left((a,b)(c,d)\right)^*}\\ &=&\overline{(ac, ad+bc)^*}\\ &=&\overline{(c^*a^*, d^*a^*+c^*b^*)}\\ &=&(c^*a^*, -d^*a^*-c^*b^*) \end{eqnarray}$

$\overline{\hat{q}^*}\ \overline{\hat{p}^*}$ を計算します。

$\begin{eqnarray} \overline{\hat{q}^*}\ \overline{\hat{p}^*}&=&\overline{(c,d)^*}\ \overline{(c,d)^*}\\ &=&\overline{(c^*,d^*)}\overline{(a^*,b^*)}\\ &=&(c^*,-d^*)(a^*,-b^*)\\ &=&(c^*a^*, -d^*a^*-c^*b^*) \end{eqnarray}$

以上より、 $\overline{(\hat{p}\hat{q})^*}=\overline{\hat{q}^*}\ \overline{\hat{p}^*}$ が示せました。

絶対値

二重四元数の絶対値

$\hat{q}=(a,b)\in\hat{\mathbb H}$ に対して、 $\hat{q}$ の絶対値を以下のように定義します。
$(a=(w_a,{\bf v}_a),b=(w_b,{\bf v}_b)\in{\mathbb H},\ w_a,w_b\in{\mathbb R},\ {\bf v}_a,{\bf v}_b\in{\mathbb R}^3)$

$\begin{eqnarray} |\hat{q}|=\left(\hat{q}\hat{q}^*\right)^{\frac{1}{2}}=(|a|^2,w_aw_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$

$|\hat{q}|=(1,0)=1$ のとき、単位二重四元数と呼びます。
$\hat{q}$ が単位二重四元数の時、 $|a|^2=1,w_aw_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b=0$ が成り立ちます。

定義より、 $\hat{q}\hat{q}^*=\hat{q}^*\hat{q}=|\hat{q}|^2$ が成り立ちます。

逆元

四元数の逆数

$\hat{q}=(a,b)\not=0\in\hat{\mathbb H}$ ならば、 $\hat{q}$ は積に関する逆元 $\hat{q}^{-1}$ をもち、以下のように定義します。
$(a,b\in{\mathbb H})$

$\begin{eqnarray} \hat{q}^{-1}=a^{-1}(1,-ba^{-1})=(a^{-1},-a^{-1}ba^{-1}) \end{eqnarray}$

$\hat{q}$ が単位二重四元数の時、 $\hat{q}^{-1}=\hat{q}^*$ が成り立ちます。

$\hat{q}^{-1}$ が $\hat{q}$ の逆元であることを示します。
$\hat{q}\hat{q}^{-1}$ を計算します。

$\begin{eqnarray} \hat{q}\hat{q}^{-1}&=&(a,b)(a^{-1},-a^{-1}ba^{-1})\\ &=&(aa^{-1},a(-a^{-1}ba^{-1})+ba^{-1})\\ &=&(1,-ba^{-1}+ba^{-1})\\ &=&(1,0)\\ &=&1 \end{eqnarray}$

$\hat{q}^{-1}\hat{q}$ を計算します。

$\begin{eqnarray} \hat{q}^{-1}\hat{q}&=&(a^{-1},-a^{-1}ba^{-1})(a,b)\\ &=&(aa^{-1},a^{-1}b+(-a^{-1}ba^{-1})a)\\ &=&(1,a^{-1}b-a^{-1}b)\\ &=&(1,0)\\ &=&1 \end{eqnarray}$

$\hat{q}^{-1}$ が $\hat{q}$ の逆元であることを示せました。

$\hat{q}$ が単位二重四元数の時、 $\hat{q}^{-1}=\hat{q}^*$ が成り立つことを示します。
$\hat{q}=(a,b)\in\hat{\mathbb H},a=(w_a,{\bf v}_a),b=(w_b,{\bf v}_b)\in{\mathbb H}$ とします。
$\hat{q}$ は単位二重四元数なので、 $|a|^2=1,w_aw_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b=0$ が成り立ちます。
$\hat{q}\hat{q}^*,\hat{q}^*\hat{q}$ を計算してみます。

$\begin{eqnarray} \hat{q}\hat{q}^*=\hat{q}^*\hat{q}&=&(\underbrace{|a|^2}_{|a|=1},\underbrace{w_a,w_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b}_{w_a,w_b+{\bf v}_a^\top{\bf v}_b=0})\\ &=&(1,0)\\ &=&1 \end{eqnarray}$

以上より、 $\hat{q}$ が単位二重四元数の時、 $\hat{q}^{-1}=\hat{q}^*$ が成り立つことが示せました。

参考リンク

Dual quaternion - Wikipedia
Dual Quaternionで剛体運動を表現する
 クォータニオン - CGのための数学