PRML演習問題 2.51(基本) www - 機械学習基礎理論独習

問題

本章の周期関数の議論で、用いたいろいろな三角関数の公式は、次の関係を用いて容易に証明できる。

$\begin{eqnarray} \exp(iA)=\cos A + i\sin A\tag{2.296} \end{eqnarray}$

ただし、 $i$ は $-1$ の平方根である。
$(2.177)$ の結果を

$\begin{eqnarray} \exp(iA)\exp(-iA)=1\tag{2.297} \end{eqnarray}$

から証明せよ。
同様に、

$\begin{eqnarray} \cos (A-B)=\Re \exp(i(A-B))\tag{2.298} \end{eqnarray}$

を用いて $(2.178)$ を証明せよ。
ただし、 $\Re$ は実部を示す。
最後に、 $\sin(A-B) =\Im \exp (i(A-B))$ から、 $(2.183)$ を証明せよ。
ただし、 $\Im$ は虚部を示す。

参照

$\begin{eqnarray} \cos^2A+\sin^2A=1\tag{2.177} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos(A-B)\tag{2.178} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\tag{2.183} \end{eqnarray}$

解答

式 $(2.297)$ の左辺 $\exp(iA)\exp(-iA)$ を変形します。

$\begin{eqnarray} \exp(iA)\exp(-iA)&=&(\cos A + i\sin A)(\cos A - i\sin A)\\ &=&\cos^2 A + \sin^2 A\tag{1} \end{eqnarray}$

式 $(1)$ を式 $(2.297)$ に代入します。

$\begin{eqnarray} \cos^2A+\sin^2A=1\tag{2} \end{eqnarray}$

式 $(2)$ より、式 $(2.177)$ が示せました。

式 $(2.298)$ の右辺 $\Re \exp(i(A-B))$ を変形します。

$\begin{eqnarray} \Re \exp(i(A-B))&=&\Re \exp(iA-iB)\\ &=&\Re \exp(iA)\exp(-iB)\\ &=&\Re (\cos A+i\sin A)(\cos B-i\sin B)\\ &=&\Re (\cos A\cos B-i\cos A\sin B + i\sin A\cos B+\sin A\sin B)\\ &=&\Re (\cos A\cos B+\sin A\sin B+i(\sin A\cos B-\cos A\sin B))\\ &=&\cos A\cos B+\sin A\sin B\tag{3} \end{eqnarray}$

式 $(3)$ を式 $(2.298)$ に代入します。

$\begin{eqnarray} \cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\tag{4} \end{eqnarray}$

式 $(4)$ より、式 $(2.178)$ が示せました。

$\Im \exp (i(A-B))$ を変形します。

$\begin{eqnarray} \Im \exp(i(A-B))&=&\Im \exp(iA-iB)\\ &=&\Im \exp(iA)\exp(-iB)\\ &=&\Im (\cos A+i\sin A)(\cos B-i\sin B)\\ &=&\Im (\cos A\cos B-i\cos A\sin B + i\sin A\cos B+\sin A\sin B)\\ &=&\Im (\cos A\cos B+\sin A\sin B+i(\sin A\cos B-\cos A\sin B))\\ &=&\sin A\cos B-\cos A\sin B\tag{5} \end{eqnarray}$

式 $(5)$ を $\sin(A-B) =\Im \exp (i(A-B))$ に代入します。

$\begin{eqnarray} \sin(A-B) =\sin A\cos B-\cos A\sin B\tag{6} \end{eqnarray}$

式 $(6)$ より、式 $(2.183)$ が示せました。