機械学習基礎理論独習

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PRML演習問題 8.1(基本) www

PRML演習問題
問題

変数を1つずつ周辺化することによって、有向グラフの同時分布の表現(8.5)が正しく規格化されていることを示せ。
ただし、個々の条件付き分布は正しく規格化されていると仮定する。

参照

\begin{eqnarray} p({\bf x})=\prod_{k=1}^Kp(x_k|pa_k)\tag{8.5} \end{eqnarray}

解答

\displaystyle\int p({\bf x}){\rm d}{\bf x} を計算します。

\begin{eqnarray} \int p({\bf x}){\rm d}{\bf x}&=&\int \prod_{k=1}^Kp(x_k|pa_k){\rm d}{\bf x}\\ &=&\int\cdots\int p(x_K|pa_K){\rm d}x_K\prod_{k=1}^{K-1}p(x_k|pa_k){\rm d}x_1\cdots {\rm d}x_{K-1}\\ &=&\int\cdots\int\prod_{k=1}^{K-1}p(x_k|pa_k){\rm d}x_1\cdots {\rm d}x_{K-1}\\ &&\vdots\\ &=&\int p(x_1|pa_1){\rm d}x_1\\ &=&1\tag{1} \end{eqnarray}

式(1)より、式(8.5)が規格化されていることが示せました。

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