多重Σについて - 機械学習基礎理論独習

はじめに

$\Sigma$ が多重で出てくると、一瞬わからなくなることはありませんか？
私は、混乱してしまうことがあるので、ちょっとまとめてみます。

$\sum_ia_i=1$ のとき、 $\sum_i\sum_ja_ib_j=\sum_jb_j$

私はこのパターンが一瞬「うっ」ってなってしまいましたので、書きます。
$i\in\{1,\ldots,m\},j\in\{1,\ldots,n\}$ の場合で説明します。

$\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_ib_j&=&\sum_{i=1}^ma_i\sum_{j=1}^nb_j\tag{1}\\ &=&\sum_{i=1}^ma_i(b_1+\cdots+b_n)\\ &=&a_1(b_1+\cdots+b_n)+\cdots+a_m(b_1+\cdots+b_n)\\ &=&(a_1+\cdots+a_m)(b_1+\cdots+b_n)\\ &=&b_1+\cdots+b_n\tag{2}\\ &=&\sum_{j=1}^nb_j\tag{3} \end{eqnarray}$

式 $(1)$ で $a_i$ を $\sum_j$ の外に出しています。
式 $(2)$ で $\sum_ia_i=1$ を使っています。

$\sum_ia_i=1$ のパターンを扱いましたが、
$\sum_ia_i=M$ の場合、

$\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_ib_j=M\sum_{j=1}^nb_j\tag{4} \end{eqnarray}$

です。

$\sum_i\sum_ja_{ij}=\sum_j\sum_ia_{ij}$

このパターンは私は大丈夫なのですが、一応書きます。
いわゆる(？) $\Sigma$ の入れ替えです。
$i\in\{1,\ldots,m\},j\in\{1,\ldots,n\}$ の場合で説明します。

$\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}&=&\sum_{i=1}^m(a_{i1}+\cdots+a_{in})\\ &=&(a_{11}+\cdots+a_{1n})+\cdots+(a_{m1}+\cdots+a_{mn})\tag{5}\\ &=&(a_{11}+\cdots+a_{m1})+\cdots+(a_{1n}+\cdots+a_{mn})\tag{6}\\ &=&\sum_{j=1}^n(a_{1j}+\cdots+a_{mj})\\ &=&\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^ma_{ij}\tag{7} \end{eqnarray}$