PRML演習問題 13.1(基本) www - 機械学習基礎理論独習

問題

$8.2$ 節で議論した有向分離のテクニックを使って、
図 $13.3$ に示す全部で $N$ 個のノードをもつマルコフモデルが、
$n=2,\ldots,N$ について条件付き独立性 $(13.3)$ を満たすことを示せ。
同様に、図 $13.4$ のグラフで記述される全部で $N$ 個のノードをもつモデルが、
$n=3,\ldots,N$ について以下の条件付き独立性を満たすことを示せ。

$\begin{eqnarray} p({\bf x}_n|{\bf x}_1,\ldots,{\bf x}_{n-1})=p({\bf x}_n|{\bf x}_{n-1},{\bf x}_{n-2})\tag{13.122} \end{eqnarray}$

参照

図 $13.3$
f:id:olj611:20210920113958p:plain

図 $13.4$
f:id:olj611:20210920114019p:plain

$\begin{eqnarray} p({\bf x}_n|{\bf x}_1,\ldots,{\bf x}_{n-1})=p({\bf x}_n|{\bf x}_{n-1})\tag{13.3} \end{eqnarray}$

解答

図 $13.3$ において、 $x_m(m < n-1)$ から $x_n$ への経路は、 $x_{n-1}$ を通り、そこでhead-to-tailであり、観測済みであるため、
$x_n\mathop{\perp\!\!\!\!\perp} x_m|x_{n-1}$ であり式 $(13.3)$ が成り立ちます。

同様に図 $13.4$ において、 $x_m(m < n-2)$ から $x_n$ への経路は、 $x_{n-1}$ または $x_{n-2}$ を通り、そこでhead-to-tailであり、観測済みであるため、
$x_n\mathop{\perp\!\!\!\!\perp} x_m|x_{n-1},x_{n-2}$ であり式 $(13.122)$ が成り立ちます。