四元数 - 機械学習基礎理論独習

はじめに

四元数という複素数を拡張したような数を紹介します。
複素数の知識があったほうが良いとは思いますが、まあ無くとも大丈夫なはずです。
四元数ははっきり言って応用範囲が狭く、3次元の回転(CGやロボットの姿勢)のみでしか応用されていないように思います。
ですので、本記事ではさらっと紹介するに留めます。

定義

四元数の定義

四元数 $q$ を以下のように定義します。

$\begin{eqnarray} q&=&w+xi+yj+zk=(w,(x,y,z))\ \ (w,x,y,z\in{\mathbb R})\\ &=&w+{\bf v}=(w,{\bf v})\in{\mathbb H}\ \ ({\bf v}=(x,y,z)\in{\mathbb R}^3)\\ \end{eqnarray}$

ここで $i,j,k$ は次の計算規則を満たします。

$\begin{eqnarray} &&i^2=-1,\ j^2=-1,k^2=-1,\\ &&ij=-ji=j,\ jk=-kj=i,\ ki=-ik=j \end{eqnarray}$

${\mathbb H}$ は四元数全体の集合を表します。

和と積

四元数の和と積は、以下のように定義されます。

四元数の和と積の定義

$q_1=(w_1,(x_1,y_1,z_1))=(w_1,{\bf v}_1),q_2=(w_2, (x_2,y_2,z_2))=(w_2,{\bf v}_2)\in{\mathbb H}$ に対して、 $q_1+q_2,q_1q_2$ は以下のように定義されます。

$\begin{eqnarray} q_1+q_2&=&\left(w_1+x_1i+y_1j+z_1k\right)+\left(w_2+x_2i+y_2j+z_2k\right)\\ &=&(w_1+w_2)+(x_1+x_2)i+(y_1+y_2)j+(z_1+z_2)k\\ &=&(w_1+w_2,{\bf v}_1+{\bf v}_2)\\ \\ q_1q_2&=&\left(w_1+x_1i+y_1j+z_1k\right)\left(w_2+x_2i+y_2j+z_2k\right)\\ &=&\left(w_1w_2-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2\right)\\ &+&\left(w_1x_2+w_2x_1+y_1z_2-y_2z_1\right)i\\ &+&\left(w_1y_2+w_2y_1+x_1z_2-x_2z_1\right)j\\ &+&\left(w_1z_2+w_2z_1+x_1y_2-x_2y_1\right)k\\ &=&(w_1w_2-{\bf v}_1^\top{\bf v}_2,w_1{\bf v}_2+w_2{\bf v}_1+{\bf v}_1\times{\bf v}_2) \end{eqnarray}$

四元数の積は非可換です。注意してください。
ただし、虚部が ${\bf 0}$ の四元数との積は可換です。
[虚部が ${\bf 0}$ の四元数との積は可換であることの証明]
$(a, {\bf 0}),(w,{\bf v})\in{\mathbb H}, a, w\in{\mathbb R},{\bf v}\in{\mathbb R}^3$ とします。
$(a, {\bf 0})(w,{\bf v})$ を計算します。

$\begin{eqnarray} (a, {\bf 0})(w,{\bf v})=(aw,a{\bf v}) \end{eqnarray}$

$(w,{\bf v})(a, {\bf 0})$ を計算します。

$\begin{eqnarray} (w,{\bf v})(a, {\bf 0})=(wa,a{\bf v}) \end{eqnarray}$

以上より、 $(a, {\bf 0})(w,{\bf v})=(w,{\bf v})(a, {\bf 0})$ が示せたので、虚部が ${\bf 0}$ の四元数との積は可換であることが示せました。

共役

共役四元数を定義します。

共役四元数の定義

$q=(w,{\bf v})\in{\mathbb H}$ に対して、 $q$ の共役四元数 $\overline{q}=q^*$ は以下のように定義されます。

$\begin{eqnarray} \overline{q}=q^*=(w,-{\bf v}) \end{eqnarray}$

共役に関する性質

$p=(w_p,{\bf v}_p),q=(w_q,{\bf w}_q)\in{\mathbb H}$ に対して、以下が成り立ちます。

$\begin{eqnarray} &&1.\ \ \ (p+q)^*=p^*+q^*\\ &&2.\ \ \ pp^*=p^*p=(w_p^2+\|{\bf v}_p\|^2,0)=w_p^2+\|{\bf v}_p\|^2\\ &&3.\ \ \ (pq)^*=q^*p^*\\ &&4.\ \ \ 一般に、(pq)^*\not=p^*q^* \end{eqnarray}$

[1の証明]
$(p+q)^*$ を計算します。

$\begin{eqnarray} (p+q)^*&=&\left( (w_p,{\bf v}_p)(w_q,{\bf v}_q)\right)^*\\ &=&(w_p+w_q,{\bf v}_p+{\bf v}_q)^*\\ &=&(w_p+w_q,-{\bf v}_p-{\bf v}_q)\\ \end{eqnarray}$

$p^*+q^*$ を計算します。

$\begin{eqnarray} p^*+q^*&=&(w_p,{\bf v}_p)^*+(w_q,{\bf v}_q)^*\\ &=&(w_p,-{\bf v}_p)+(w_q,-{\bf v}_q)\\ &=&(w_p+w_q,-{\bf v}_p-{\bf v}_q)\\ \end{eqnarray}$

以上より、 $(p+q)^*=p^*+q^*$ が成り立ちます。

[2の証明]
$pp^*$ を計算します。

$\begin{eqnarray} pp^*&=&(w_p,{\bf v}_p)(w_p,{\bf v}_p)^*\\ &=&(w_p,{\bf v}_p)(w_p,-{\bf v}_p)\\ &=&({w_p}^2+\|{\bf v}_p\|^2,w_p(-{\bf v}_p)+w_p{\bf v}_p+{\bf v}_p\times(-{\bf v}_p))\\ &=&({w_p}^2+\|{\bf v}_p\|^2,0) \end{eqnarray}$

$p^*p$ を計算します。

$\begin{eqnarray} p^*p&=&(w_p,{\bf v}_p)^*(w_p,{\bf v}_p)\\ &=&(w_p,-{\bf v}_p)(w_p,{\bf v}_p)\\ &=&({w_p}^2+\|{\bf v}_p\|^2,w_p{\bf v}_p+w_p(-{\bf v}_p)+(-{\bf v}_p)\times{\bf v}_p)\\ &=&({w_p}^2+\|{\bf v}_p\|^2,0) \end{eqnarray}$

以上より、 $pp^*=p^*p=(w_p^2+\|{\bf v}_p\|^2,0)=w_p^2+\|{\bf v}_p\|^2$ が成り立ちます。

[3の証明]
$(pq)^*$ を計算します。

$\begin{eqnarray} (pq)^*&=&\left( (w_p,{\bf v}_p)(w_q,{\bf v}_q) \right) ^*\\ &=&(w_pw_q-{\bf v}_p^\top{\bf v}_q, w_p{\bf v}_q+w_q{\bf v}_p+{\bf v}_p\times{\bf v}_q)^*\\ &=&(w_pw_q-{\bf v}_p^\top{\bf v}_q, -w_p{\bf v}_q-w_q{\bf v}_p-{\bf v}_p\times{\bf v}_q)\\ \end{eqnarray}$

$q^*p^*$ を計算します。

$\begin{eqnarray} q^*p^*&=&(w_q,{\bf v}_q)^*(w_p,{\bf v}_p)^*\\ &=&(w_q,-{\bf v}_q)(w_p,-{\bf v}_p)\\ &=&(w_qw_p-(-{\bf v}_q)^\top(-{\bf v}_p),w_q(-{\bf v}_p)+w_p(-{\bf v}_q)+(-{\bf v}_q)\times(-{\bf v}_p))\\ &=&(w_qw_p-{\bf v}_q^\top{\bf v}_p,-w_q{\bf v}_p-w_p{\bf v}_q+{\bf v}_q\times{\bf v}_p)\\ \end{eqnarray}$

以上より、 $(pq)^*=q^*p^*$ が成り立ちます。

[4の証明]
$(pq)^*$ を計算します。

$p^*q^*$ を計算します。

$\begin{eqnarray} p^*q^*&=&(w_p,{\bf v}_p)^*(w_q,{\bf v}_q)^*\\ &=&(w_p,-{\bf v}_p)(w_q,-{\bf v}_q)\\ &=&(w_pw_q-(-{\bf v}_p)^\top(-{\bf v}_q),w_p(-{\bf v}_q)+w_q(-{\bf v}_p)+(-{\bf v}_p)\times(-{\bf v}_q))\\ &=&(w_pw_q-{\bf v}_p^\top{\bf v}_q,-w_p{\bf v}_q-w_q{\bf v}_p+{\bf v}_p\times{\bf v}_q)\\ \end{eqnarray}$

$(pq)^*=p^*q^*$ が成り立つとすると、以下が成り立ちます。

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} {\bf v}_p^\top{\bf v}_q=0\\ {\bf v}_p\times{\bf v}_q={\bf 0} \end{array} \right. \end{eqnarray}$

${\bf v}_p\not={\bf 0},{\bf v}_q\not={\bf 0}$ のとき、上記の式を同時に満たすことは無いため、一般に $(pq)^*\not=p^*q^*$ であることが示せました。

絶対値

四元数の絶対値

$q=(w,{\bf v})\in{\mathbb H}$ に対して、 $q$ の絶対値を以下のように定義します。

$\begin{eqnarray} |q|=\left(qq^*\right)^{\frac{1}{2}}=(w^2+|{\bf v}|^2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$

$|q|=1$ のとき、単位四元数と呼びます。
$q$ が単位四元数の時、 $w^2+|{\bf v}|^2=1$ が成り立ちます。

定義より、 $qq^*=q^*q=|q|^2$ が成り立ちます。

絶対値に関する性質

$p,q\in{\mathbb H}$ に対して、以下が成り立ちます。

$\begin{eqnarray} &&1.\ \ \ |p|=|p^*|\\ &&2.\ \ \ |pq|=|qp|=|p|\ |q|\\ \end{eqnarray}$

$p=(w_p,{\bf v}_p)=(w_p,(x_p,y_p,z_p)),q=(w_q,{\bf w}_q)=(w_q,(x_q,y_q,z_q))\in{\mathbb H}$ とします。
[1の証明]
$|p|^2$ を計算します。

$\begin{eqnarray} |p|^2=w_p^2+\|{\bf v}_p\|^2 \end{eqnarray}$

$|p^*|^2$ を計算します。

$\begin{eqnarray} |p^*|^2&=&|(w_p,{\bf v}_p)^*|\\ &=&|(w_p,-{\bf v}_p)|^2\\ &=&w_p^2+\|(-{\bf v}_p)\|^2\\ &=&w_p^2+\|{\bf v}_p\|^2 \end{eqnarray}$

以上より、 $|p|=|p^*|$ が示せました。

[2の証明]
$|pq|^2=|p|^2\ |q|^2$ を示せば、 $|pq|\geq 0, |p|\ |q|\geq 0$ より、 $|pq|=|p|\ |q|$ が示せます。
また、 $|pq|^2=|p|^2\ |q|^2$ のとき、 $p,q$ を入れ替えると、 $|qp|^2=|q|^2\ |p|^2=|p|^2\ |q|^2$ となるので、 $|qp|=|p|\ |q|$ が示せます。
よって、 $|pq|^2=|p|^2\ |q|^2$ を示します。
$|pq|^2$ を計算します。

$\begin{eqnarray} |pq|^2=w_{p}^{2} w_{q}^{2} + w_{p}^{2} x_{q}^{2} + w_{p}^{2} y_{q}^{2} + w_{p}^{2} z_{q}^{2} + w_{q}^{2} x_{p}^{2} + w_{q}^{2} y_{p}^{2} + w_{q}^{2} z_{p}^{2} + x_{p}^{2} x_{q}^{2} + x_{p}^{2} y_{q}^{2} + x_{p}^{2} z_{q}^{2} + x_{q}^{2} y_{p}^{2} + x_{q}^{2} z_{p}^{2} + y_{p}^{2} y_{q}^{2} + y_{p}^{2} z_{q}^{2} + y_{q}^{2} z_{p}^{2} + z_{p}^{2} z_{q}^{2} \end{eqnarray}$

$|p|^2\ |q|^2$ を計算します。

$\begin{eqnarray} |p|^2\ |q|^2=w_{p}^{2} w_{q}^{2} + w_{p}^{2} x_{q}^{2} + w_{p}^{2} y_{q}^{2} + w_{p}^{2} z_{q}^{2} + w_{q}^{2} x_{p}^{2} + w_{q}^{2} y_{p}^{2} + w_{q}^{2} z_{p}^{2} + x_{p}^{2} x_{q}^{2} + x_{p}^{2} y_{q}^{2} + x_{p}^{2} z_{q}^{2} + x_{q}^{2} y_{p}^{2} + x_{q}^{2} z_{p}^{2} + y_{p}^{2} y_{q}^{2} + y_{p}^{2} z_{q}^{2} + y_{q}^{2} z_{p}^{2} + z_{p}^{2} z_{q}^{2} \end{eqnarray}$

以上より、 $|pq|^2=|p|^2\ |q|^2$ が示せました。
よって、 $|pq|=|qp|=|p|\ |q|$ が示せました。

$|pq|^2=|p|^2\ |q|^2$ の計算に用いたプログラム(Sympy)

from sympy.algebras.quaternion import Quaternion
from sympy import *
init_printing()
var('w_p,x_p,y_p,z_p,w_q,x_q,y_q,z_q')
p = Quaternion(w_p,x_p,y_p,z_p)
q = Quaternion(w_q,x_q,y_q,z_q)
pq_nrm2 = expand((p * q).norm() ** 2)
qp_nrm2 = expand((p.norm() ** 2) * (q.norm() ** 2))
display(pq_nrm2)
display(qp_nrm2)