任意軸まわりの回転

単位ベクトル $\bf a$ まわりに点 $P$ (位置ベクトル $\bf p$ )を $\theta$ 回転した点を $P'$ (位置ベクトル ${\bf p}'$ ) とすると、以下のようになります。

$\begin{eqnarray} {\bf p}'={\bf p}+\sin\theta\left({\bf a}\times{\bf p}\right)+(1-\cos\theta){\bf a}\times({\bf a}\times{\bf p})\tag{1} \end{eqnarray}$

$(1)$ はロドリゲスの回転公式と言います。

任意軸まわりの回転の導出

$(1)$ を導出します。

下図を参考にして、 ${\bf p}'_\perp$ を分解します。

$\begin{eqnarray} {\bf p}'_\perp=||{\bf p}'_\perp||\cos\theta\dfrac{{\bf p}_\perp}{||{\bf p}_\perp||}+||{\bf p}'_\perp||\sin\theta\dfrac{{\bf a}\times{\bf p}_\perp}{||{\bf a}\times{\bf p}_\perp||}\tag{2} \end{eqnarray}$

${\bf p}_\perp,{\bf p}'_\perp$ は同一円上にあるので、 $||{\bf p}_\perp||=||{\bf p}'_\perp||\ \cdots(3)$ が成り立ちます。
$||{\bf a}||=1,{\bf a}\perp{\bf p\perp}$ より、 $||{\bf a}\times{\bf p}_\perp||=||{\bf a}||\cdot||{\bf p}_\perp||\sin\dfrac{\pi}{2}=||{\bf p}_\perp||=||{\bf p}'_\perp||\ \cdots(4)$ が成り立ちます。

$(3),(4)$ を $(2)$ に代入して整理します。

$\begin{eqnarray} {\bf p}'_{||}=\cos\theta{\bf p}_\perp+\sin\theta\left({\bf a}\times{\bf p}_\perp\right)\tag{5} \end{eqnarray}$

${\bf p}_{||}={\bf p}'_{||}$ であり、 ${\bf p'}={\bf p}'_{||}+{\bf p}'_\perp$ であるので、 $(5)$ と合わせて以下が成り立ちます。

$\begin{eqnarray} {\bf p'}&=&{\bf p}_{||}+\cos\theta{\bf p}_\perp+\sin\theta\left({\bf a}\times{\bf p}_\perp\right)\\ &=&\left({\bf p}-{\bf p}_\perp\right)+\cos\theta{\bf p}_\perp+\sin\theta\left({\bf a}\times{\bf p}_\perp\right)\tag{6} \end{eqnarray}$

あとは、 $(6)$ を ${\bf a}$ と ${\bf p}$ で表せばよいです。

${\bf a}\perp{\bf p}_\perp$ かつ $||{\bf a}||=1$ なので、 $||{\bf a}\times{\bf p}_\perp||=||{\bf a}||\cdot||{\bf p}_\perp||=||{\bf p}_\perp||$ が成り立ちます。
また、 $\left({\bf a}\times{\bf p}\right)\perp{\bf a}$ なので、 $||\left({\bf a}\times{\bf p}_\perp\right)\times{\bf a}||=||{\bf a}\times{\bf p}||\cdot||{\bf a}||=||{\bf p}_\perp||$ が成り立ちます。
以上より、 ${\bf p}_\perp$ は以下のように書けます。

$\begin{eqnarray} {\bf p}_\perp=-{\bf a}\times\left({\bf a}\times{\bf p}_\perp\right)\tag{7} \end{eqnarray}$

一方、 ${\bf p}={\bf p}_{||}+{\bf p}_\perp$ であるので、 ${\bf a}$ と外積を取ります。

$\begin{eqnarray} {\bf a}\times{\bf p}&=&{\bf a}\times{\bf p}_{||}+{\bf a}\times{\bf p}_\perp\\ &=&{\bf a}\times{\bf p}_\perp\tag{8} \end{eqnarray}$

$(8)$ の導出で、 ${\bf a}\times{\bf p}_{||}={\bf 0}$ であることを用いました。

$(8)$ を $(7)$ に代入します。

$\begin{eqnarray} {\bf p}_\perp=-{\bf a}\times\left({\bf a}\times{\bf p}\right)\tag{9} \end{eqnarray}$

$(6),(8),(9)$ より、

$\begin{eqnarray} {\bf p}'&=&\left({\bf p}-\left(-{\bf a}\times\left({\bf a}\times{\bf p}\right)\right)\right)+\cos\theta\left(-{\bf a}\times\left({\bf a}\times{\bf p}\right)\right)+\sin\theta\left({\bf a}\times{\bf p}\right)\\ &=&{\bf p}+\sin\theta\left({\bf a}\times{\bf p}\right)+(1-\cos\theta){\bf a}\times({\bf a}\times{\bf p})\tag{10} \end{eqnarray}$

となり、 $(1)$ が成り立つことが示せました。

任意軸まわりの回転行列

求めた $(10)$ を行列で表したいと思います。
まず、ベクトル3重積の公式 $(14)$ を用いて式変形します。

$\begin{eqnarray} {\bf p}'&=&{\bf p}+\sin\theta\left({\bf a}\times{\bf p}\right)+(1-\cos\theta){\bf a}\times({\bf a}\times{\bf p})\\ &=&{\bf p}+\sin\theta\left({\bf a}\times{\bf p}\right)+(1-\cos\theta)\left(\left({\bf a}^\top{\bf p}\right){\bf a}-\left({\bf a}^\top{\bf a}\right){\bf p}\right)\\ &=&{\bf p}+\sin\theta\left({\bf a}\times{\bf p}\right)+(1-\cos\theta)\left(\left({\bf a}^\top{\bf p}\right){\bf a}-{\bf p}\right)\\ &=&\cos\theta{\bf p}+\sin\theta\left({\bf a}\times{\bf p}\right)+(1-\cos\theta)\left({\bf a}^\top{\bf p}\right){\bf a}\tag{11}\\ \end{eqnarray}$

次に、 ${\bf a}\times{\bf p}$ と $\left({\bf a}^\top{\bf p}\right){\bf a}$ を $(15),(16)$ を用いて、同等の行列で置き換えます。

$\begin{eqnarray} {\bf p}'&=& \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} {\bf p}\cos\theta + \begin{pmatrix} 0 & -a_z & a_y\\ a_z & 0 & -a_x\\ -a_y & a_x & 0 \end{pmatrix} {\bf p}\sin\theta + \begin{pmatrix} a_x^2 & a_xa_y & a_xa_z\\ a_xa_y & a_y^2 & a_ya_z\\ a_xa_z & a_ya_z & a_z^2 \end{pmatrix} {\bf p}(1-\cos\theta)\\ &=&\begin{pmatrix} \cos\theta+a_x^2(1-\cos\theta) & a_xa_y(1-\cos\theta)-a_z\sin\theta & a_xa_z(1-\cos\theta)+a_y\sin\theta\\ a_xa_y(1-\cos\theta)+a_z\sin\theta & \cos\theta+a_y^2(1-\cos\theta) & a_ya_z(1-\cos\theta)-a_x\sin\theta\\ a_xa_z(1-\cos\theta)-a_y\sin\theta & a_ya_z(1-\cos\theta)+a_x\sin\theta & \cos\theta+a_z^2(1-\cos\theta) \end{pmatrix} {\bf p}\tag{12} \end{eqnarray}$

以上より、任意軸まわりの回転行列 ${\bf R}_{\bf a}(\theta)$ が求まりました。

$\begin{eqnarray} {\bf R}_{\bf a}(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta+a_x^2(1-\cos\theta) & a_xa_y(1-\cos\theta)-a_z\sin\theta & a_xa_z(1-\cos\theta)+a_y\sin\theta\\ a_xa_y(1-\cos\theta)+a_z\sin\theta & \cos\theta+a_y^2(1-\cos\theta) & a_ya_z(1-\cos\theta)-a_x\sin\theta\\ a_xa_z(1-\cos\theta)-a_y\sin\theta & a_ya_z(1-\cos\theta)+a_x\sin\theta & \cos\theta+a_z^2(1-\cos\theta) \end{pmatrix}\tag{13} \end{eqnarray}$

ベクトル3重積の公式

$\begin{eqnarray} {\bf a}\times({\bf b}\times{\bf c})=({\bf a}^\top{\bf c}){\bf b}-({\bf a}^\top{\bf b}){\bf c}\tag{14} \end{eqnarray}$

p の q 上への射影を表す行列

$\begin{eqnarray} {\rm proj}_{\bf q}{\bf p}=\dfrac{{\bf p}^\top{\bf q}}{||{\bf q}||^2}{\bf q} = \dfrac{1}{||{\bf q}||^2} \begin{pmatrix} q_x^2 & q_xq_y & q_xq_z\\ q_xq_y & q_y^2 & q_yq_z\\ q_xq_z & q_yq_z & q_z^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_x\\p_y\\p_z\tag{15} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$

外積を表す行列

$\begin{eqnarray} {\bf p}\times{\bf q}=\begin{pmatrix} 0 & -p_z & p_y\\ p_z & 0 & -p_x\\ -p_y & p_x & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q_x\\q_y\\q_z\tag{16} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$

参考文献

3Dグラフィックスのための数学入門 p117-p122
ゲームプログラミングのための3Dグラフィックス数学 p9-p10,p60-p62

機械学習基礎理論独習

誤りがあればご指摘いただけると幸いです。数式が整うまで少し時間かかります。リンクフリーです。

任意軸まわりの回転 - ロドリゲスの回転公式