問題 ガンマ関数はで定義される。 部分積分を使って関係式を証明せよ。 また、を示し、が整数ならとなることを示せ。 解答 を計算します。式より、を示せました。を計算します。式より、のときが成り立ちます。の時、が成り立つとすると、以下の式が成り立ち…

問題 が正規化されていれば密度も正規化されていることをと変数を変換することで示せ。 参照 解答 を計算します。式をと変数変換します。(が成り立ちます。)式より、が正規化されていれば密度も正規化されていることを示せました。

問題 の極限で分布がガウス分布になることを示せ。 ヒント：正規化係数を無視し、への依存性だけに注目する。 参照 解答 式で、に関する項を変形します。式で、テイラー展開より成り立つ式を用いました。式において、とします。式はのカーネル(分布の主要な…

問題 の積分を計算しになることを確かめよ。 参照 解答 を計算します。とおくと、以下が成り立ちます。式より、からへ変数変換します。式でガンマ関数の定義を用いました。とおくと、以下が成り立ちます。式を式へ代入します。式より、式が示せました。

問題 ダイバージェンスはで定義される。 カルバック-ライブラーダイバージェンスはこのときの場合に対応することを示せ。 これにはと書き、すればよい。 同様にして、はの場合に対応することを示せ。 参照 解答 まず、の場合を考えます。 を計算します。式に…

問題 制約を満たすようにラグランジュ乗数を利用し、 によって与えられるクラス分離規準をに関して最大化すればとなることを示せ。 参照 解答 の制約の下で、を最大化します。 この時、ラグランジュ関数は以下のようになります。をで微分して、とおきます。…

問題 ロジスティックシグモイド関数がを満たすことを示せ。 また、その逆関数がで与えられることを示せ。 参照 解答 を計算します。式より、が示せました。式をとおいて、について解きます。式より、以下の式が成り立ちます。式より、が示せました。 関連リ…