2つのベクトルを一致させる回転を表す変換を求める

はじめに

2つのベクトルを一致させる座標変換をクォータニオンを使って作るという記事を読んでまして、良い記事だなって思ったので自分用にまとめておきます。
アプリなら、入力者がマウスクリックで指定した三角形の法線方向をビュー座標系のz+にする場合などに使えるかなって思います。

導出

移動元のベクトルを ${\bf x}\in{\mathbb R}^3$ 、移動先のベクトルを ${\bf y}\in{\mathbb R}^3$ とします。
ただし、 $||{\bf x}||=||{\bf y}||$ とします。原点周りの回転を考えるのだから、当然の仮定だと思います。
${\bf x}$ を ${\bf y}$ に一致させる任意軸回りの回転による変換を求めてみます。

まず、角度を求めます。
${\bf x},{\bf y}$ のなす角度を $\theta$ とすると、

$\begin{eqnarray} &&\cos\theta=\dfrac{{\bf x}^\top{\bf y}}{||{\bf x}||\cdot||{\bf y}||}\tag{1}\\ &&\theta=\arccos\left(\dfrac{{\bf x}^\top{\bf y}}{||{\bf x}||\cdot||{\bf y}||}\right)\tag{2} \end{eqnarray}$

と求まります。

次に、回転する軸のベクトル ${\bf a}\in{\mathbb R}^3$ を求めます。

$\begin{eqnarray} {\bf a}=\dfrac{{\bf x}\times{\bf y}}{||{\bf x}\times{\bf y}||}\tag{3} \end{eqnarray}$

$(2),(3)$ より、回転軸と回転角度が求まったので、あとはこれを単位四元数にするなり、回転行列にすれば、 ${\bf x}$ を ${\bf y}$ に一致させることができます。
このときの回転を表す単位四元数 ${\bf q}=\left(\cos\dfrac{\theta}{2},\sin\dfrac{\theta}{2}{\bf a}\right)\in{\mathbb H}$ であり、 ${\bf q}$ を使って ${\bf x},{\bf y}$ を表すと以下のようになります。

$\begin{eqnarray} (0,{\bf y})={\bf q}(0,{\bf x}){\bf q}^{-1}\tag{4} \end{eqnarray}$

式 $(4)$ は四元数の演算ですので、 ${\bf x},{\bf y}\in{\mathbb R}^3$ を $(0,{\bf x}),(0,{\bf y})\in{\mathbb H}$ と書いています。

また、このときの回転行列 ${\bf R}\in{\mathbb R}^3$ は以下のようになります。

$\begin{eqnarray} {\bf R}= \begin{pmatrix} \cos\dfrac{\theta}{2}+a_x^2\left(1-\cos\dfrac{\theta}{2}\right) & a_xa_y\left(1-\cos\dfrac{\theta}{2}\right)-a_z\sin\dfrac{\theta}{2} & a_xa_z\left(1-\cos\dfrac{\theta}{2}\right)+a_y\sin\dfrac{\theta}{2}\\ a_xa_y\left(1-\cos\dfrac{\theta}{2}\right)+a_z\sin\dfrac{\theta}{2} & \cos\dfrac{\theta}{2}+a_y^2\left(1-\cos\dfrac{\theta}{2}\right) & a_ya_z\left(1-\cos\dfrac{\theta}{2}\right)-a_x\sin\dfrac{\theta}{2}\\ a_xa_z\left(1-\cos\dfrac{\theta}{2}\right)-a_y\sin\dfrac{\theta}{2} & a_ya_z\left(1-\cos\dfrac{\theta}{2}\right)+a_x\sin\dfrac{\theta}{2} & \cos\dfrac{\theta}{2}+a_z^2\left(1-\cos\dfrac{\theta}{2}\right) \end{pmatrix}\tag{5} \end{eqnarray}$

${\bf R}$ を使って ${\bf x},{\bf y}$ を表すと以下のようになります。

$\begin{eqnarray} {\bf y}={\bf R}{\bf x}\tag{6} \end{eqnarray}$

$(4),(6)$ のお好きな方法で、ベクトルを変換してください。

$||{\bf x}||\not=||{\bf y}||$ の場合どうなるか

$||{\bf x}||\not=||{\bf y}||$ の場合でも、 $\theta,{\bf a}$ は同じものが求まります。
このとき、 ${\bf y}'={\bf R}{\bf x}$ とすると、 ${\bf y}'=\dfrac{||{\bf x}||}{||{\ bf y}||}{\bf y}$ となります。