機械学習基礎理論独習

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2次元の点群にフィットする直線を求める - 主成分分析

点群

はじめに

本記事ではアイデアのみ残しておきます。
計算過程などは参考リンクをご覧ください。

要件

点群は $\{{\bf x}_n\in{\mathbb R}^2\}_{n=1}^N$ とします。
直線の通過点を ${\bf x}_G\in{\mathbb R}^2$ とします。特に指定がない場合は ${\bf x}_G$ を点群の重心としてください。
要件は「点群 $\{{\bf x}_n\}_{n=1}^N$ にフィットする ${\bf x}_G$ を通る直線を見つけること」です。

アルゴリズム

以下の行列 ${\bf M}\in{\mathbb R}^{2\times 2}$ の最大固有値 $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルが求める直線の方向ベクトル ${\bf v}_1$ となる。

$\begin{eqnarray} {\bf M}=\sum_{n=1}^N({\bf x}_n-{\bf x}_G)({\bf x}_n-{\bf x}_G)^\top\tag{1} \end{eqnarray}$

通過する位置ベクトル ${\bf x}_G$ と方向ベクトル ${\bf v}_1$ が定まったので、要件を満たす直線が求まりました。

参考リンク

主成分分析の例題～頂点群にフィットする直線～

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