曲率 - 機械学習基礎理論独習

曲線の定義

曲線はパラメータ $t\in{\mathbb R}$ を用いて、曲線上の動点 $P$ の原点 $O$ に関する位置ベクトル

$\begin{eqnarray} {\bf p}(t)=(x(t),y(t),z(t))\tag{1} \end{eqnarray}$

で表すことができます。
点 $P$ における接線ベクトルは

$\begin{eqnarray} {\bf p}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))\tag{2} \end{eqnarray}$

です。

曲線の長さ

曲線の長さを $s$ を

$\begin{eqnarray} s=\int_{s_1}^{s_2}ds(=[s]_{s_1}^{s_2}=s_2-s_1)\tag{3} \end{eqnarray}$

とおくと、微小な曲線の長さ $ds$ は、 $dx,dy,dz$ を使って

$\begin{eqnarray} ds=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}\tag{4} \end{eqnarray}$

と表せます。
式 $(5)$ を変形します。

$\begin{eqnarray} ds=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dz}{dt}\right)^2}dt\tag{5} \end{eqnarray}$

ここで、 $s:s_1\rightarrow s_2$ のとき、 $t:t_1\rightarrow t_2$ が対応するとして、式 $(3)$ を変形します。

$\begin{eqnarray} s&=&\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dz}{dt}\right)^2}dt\\ &=&\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}dt\\ &=&\int_{t_1}^{t_2}||{\bf p}'(t)||dt\tag{6} \end{eqnarray}$

位置ベクトルを弧長パラメータを使って表す

区間 $[t_1,t]$ の間に動点 $P$ が移動する曲線の長さ $s$ は、式 $(6)$ より、

$\begin{eqnarray} s&=&\int_{t_1}^{t}||{\bf p}'(u)||du\tag{7} \end{eqnarray}$

となります。
式 $(7)$ の両辺を $t$ で微分します。

$\begin{eqnarray} \dfrac{ds}{dt}=||{\bf p}'(t)||\tag{8} \end{eqnarray}$

式 $(8)$ より、 $||{\bf p}'(t)||>0$ なので、 $s$ は $t$ の単調増加関数であり、 $s$ と $t$ は1対1に対応します。
式 $(7)$ を $s=f(t)$ とおくと、 $t=f^{-1}(s)=g(s)$ と表せます。
${\bf p}(t)={\bf p}(g(s))$ だから、 ${\bf p}(t)={\bf r}(s)$ のように書くべきですが、
ベクトル解析では、同じ ${\bf p}$ を用いて ${\bf p}(t)={\bf p}(s)$ と書くことに注意しましょう。

また、 $\dfrac{d{\bf p}}{ds}$ は単位ベクトルであることは知っておきましょう。長さで割っているので当然なのですが。

$\begin{eqnarray} \dfrac{d{\bf p}}{ds}&=&\dfrac{d{\bf p}}{dt}\cdot\dfrac{dt}{ds}\\ &=&\dfrac{d{\bf p}}{dt}\cdot\dfrac{1}{||{\bf p}'(t)||}\\ &=&\dfrac{{\bf p}'(t)}{||{\bf p}'(t)||}\tag{9} \end{eqnarray}$

曲率の定義

点 $P$ から曲線に沿って $\Delta s$ だけ変位した点を $Q$ とします。
この $\Delta s$ 部分を円弧とみなし、その円の中心を点 $C$ 、角 $PCQ$ を $\Delta\alpha$ とすると、この円の半径は

$\begin{eqnarray} R=\left|\dfrac{\Delta s}{\Delta \alpha}\right|\tag{10} \end{eqnarray}$

ここで、極限 $\Delta s\rightarrow 0$ をとると、点 $P$ における曲率半径

$\begin{eqnarray} R=\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\left|\dfrac{\Delta s}{\Delta \alpha}\right|=\left|\dfrac{ds}{d\alpha}\right|\tag{11} \end{eqnarray}$

が求まります。
点 $P$ における曲率 $\kappa$ は曲率半径 $R$ の逆数なので次式となります。

$\begin{eqnarray} \kappa=\dfrac{1}{R}=\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\left|\dfrac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|=\left|\dfrac{d\alpha}{ds}\right|\tag{12} \end{eqnarray}$

曲率は式 $(12)$ から分かる通り、単長さ当たりの角度の変化を表します。
曲率の値は正にも負にもなります。この場合、その符号は微小角度 $\Delta\alpha$ の向きを表し、正のとき反時計回りの向き、負のとき時計回りの向きを示します。
曲率半径の値も同様に正にも負にもなります。
点 $P,Q$ における弧長パラメータをそれぞれ $s,s+\Delta s$ とします。
すると、点 $P,Q$ の接ベクトルは $\dfrac{d{\bf p}}{ds}(s),\dfrac{d{\bf p}}{ds}(s+\Delta s)$ は単位ベクトルなので、
それらを単位円の上に重ねて書いたのが下図の右です。

$\Delta\alpha\fallingdotseq\left|\dfrac{d{\bf p}}{ds}(s+\Delta s)-\dfrac{d{\bf p}}{ds}(s)\right|$ であることが分かる(極限を取れば $=$ )のでこれを式 $(12)$ に代入します。

$\begin{eqnarray} \kappa&=&\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\left|\dfrac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|\\ &=&\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\left|\dfrac{\dfrac{d{\bf p}}{ds}(s+\Delta s)-\dfrac{d{\bf p}}{ds}(s)}{\Delta s}\right|\\ &=&\left|\dfrac{d^2{\bf p}}{ds^2}\right|\tag{13} \end{eqnarray}$