剛体変換行列の積と逆行列 - 機械学習基礎理論独習

剛体変換行列

剛体変換行列は回転行列 ${\bf R}\in{\mathbb R}^{3\times 3}$ と平行移動ベクトル ${\bf t}\in{\mathbb R}^3$ を使って、以下のように書けます。

$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} {\bf R} & {\bf t} \\ \hline {\bf 0}^\top & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix}\tag{1} \end{eqnarray}$

剛体変換行列の積

もう1つの剛体変換行列を回転行列 ${\bf R}'\in{\mathbb R}^{3\times 3}$ と平行移動ベクトル ${\bf t}'\in{\mathbb R}^3$ で表すと、積は以下のようになります。

$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} {\bf R} & {\bf t} \\ \hline {\bf 0}^\top & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} {\bf R}' & {\bf t}' \\ \hline {\bf 0}^\top & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} {\bf R}{\bf R}' & {\bf R}{\bf t}'+{\bf t} \\ \hline {\bf 0}^\top & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix}\tag{2} \end{eqnarray}$

剛体変換行列の逆行列

式 $(2)$ より、剛体変換行列の逆行列は、以下のようになります。

$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} {\bf R} & {\bf t} \\ \hline {\bf 0}^\top & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} {\bf R}^\top & -{\bf R}^\top{\bf t} \\ \hline {\bf 0}^\top & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix}\tag{3} \end{eqnarray}$

確認のために検算してみます。

$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} {\bf R} & {\bf t} \\ \hline {\bf 0}^\top & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} {\bf R} & {\bf t} \\ \hline {\bf 0}^\top & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix}^{-1} &=& \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} {\bf R} & {\bf t} \\ \hline {\bf 0}^\top & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} {\bf R}^\top & -{\bf R}^\top{\bf t} \\ \hline {\bf 0}^\top & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} {\bf R}{\bf R}^\top & {\bf R}(-{\bf R}^\top{\bf t})+{\bf t} \\ \hline {\bf 0}^\top & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} {\bf I} & -{\bf t}+{\bf t} \\ \hline {\bf 0}^\top & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} {\bf I} & {\bf 0} \\ \hline {\bf 0}^\top & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix}={\bf I}\tag{4} \end{eqnarray}$

補足です。
${\bf R}$ は回転行列であり、直交行列であるので、逆行列が転置行列となります。

参考リンク

【数分解説】同次変換行列 : ロボットの位置姿勢を座標系を考慮して簡単に変換や計算できるようにする