モンテカルロ積分 - 機械学習基礎理論独習

モンテカルロ 積分法

台形公式は低次元の積分には有効ですが、高次元ではうまくいかないことが多いようです。

近似したい積分が、以下であるとします。

$\begin{eqnarray} I=\int_{E}f(x)p(x){\rm d}x\tag{1} \end{eqnarray}$

$X_1,\ldots,X_M$ が確率分布 $p(x)$ に従う時、大数の法則により近似解 $J$ は次のように書けます。

$\begin{eqnarray} J=\frac{1}{M}\sum_{m=1}^Mf(X_m)\tag{2} \end{eqnarray}$

このように積分を乱数で代用する近似法をモンテカルロ積分法といいます。

モンテカルロ 積分法の実験

区間 $[-1,1]$ 上に関数 $f(x)$ を定めます。

$\begin{eqnarray} f(x)=(\cos(15x)+\sin(7x))^2\tag{3} \end{eqnarray}$

$(3)$ のグラフは以下の図で表されます。

f:id:olj611:20210430195154p:plain:w400

先に解析解 $I$ を計算してみます。

$\begin{eqnarray} I&=&\int_{-1}^1f(x){\rm d}x\\ &=&\int_{-1}^1(\cos(15x)+\sin(7x))^2\\ &=&\left[x-\frac{1}{28}\sin(14x)+\frac{1}{60}\sin(30x)+\frac{1}{8}\cos(8x)-\frac{1}{22}\cos(22x)\right]_{-1}^1\\ &=&1.8963079442663187\cdots\tag{4} \end{eqnarray}$